Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE

（1）求证：△ADE≌△CBF.

（2）若AE=3，AD=4，∠DAE=90°，该判断当BE的长度为多少时，四边形AECF为菱形，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.

【解析】

（1）由平行四边形的性质可得∠ADE=∠CBF，AD=BC，利用SAS即可证明△ADE≌△CBF；（2）连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，利用勾股定理可求出DE的长，即可用x表示出OE和OB的长，由菱形的性质可得AC⊥EF，即可证明平行四边形ABCD是菱形，可得AB=AD=4，在Rt△AOB和Rt△AOE中，分别利用勾股定理表示出OA2，列方程求出x的值即可得答案.

（1）∵平行四边形ABCD，

∴AD//BC，

∴∠∠ADE=∠CBF，AD=BC，

又∵BF=DE，

∴△ADE≌△CBF.

（2）BE的长度为时，四边形AECF为菱形.理由如下：

连接AC，设BE=x，AC、EF相交于O，

∵AE=3，AD=4，∠DAE=90°，

∴BF=DE==5，

∴OE=，OB=，

∵四边形AECF为菱形，

∴AC⊥EF，

∴平行四边形ABCD是菱形，

∴AB=AD=4，

在Rt△AOB和Rt△AOE中，OA2=AB2-OB2=AE2-OE2，即42-()2=32-()2，

解得：x=.

∴BE的长度为时，四边形AECF为菱形.