Question

【题目】如图，直线y=2x﹣2分别与x轴、y轴相交于M，N两点，并且与双曲线y=（k＞0）相交于A，B两点，过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，AC与BD的延长线交于点E（m，n）．

（1）求证：；

（2）若，求＞2x﹣2的x的取值范围；

（3）在（2）的条件下，P为双曲线上一点，以OB，OP为邻边作平行四边形，且平行四边形的周长最小，求第四个顶点Q的坐标．

Answer 1

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、x＜﹣1或0＜x＜2；(3)、P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．

【解析】

试题分析：(1)、设A（x1，），B（x2，），则有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，首先证明=，由此即可解决问题．(2)、由DM∥AE，得==，设A（m，n）则B（﹣，﹣2n），把A、B代入y=2x﹣2得到：，解得：，求出A、B两点坐标即可解决问题．(3)、因为点B是定点，OB是定长，所以要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可，由P在y=上，设P（a，），因为OP2=n2+=（n﹣）2+8，所以当n﹣=0时，OP2的值最小，由此即可解决问题．

试题解析：(1)、设A（x1，），B（x2，），则有AE=x1﹣x2，BE=﹣，EC=﹣x2，ED=，

∴=， ∴=．

(2)、∵DM∥AE， ∴， ∴A（m，n）则B（﹣，﹣2n），

把A、B代入y=2x﹣2得到， 解得， ∴A（2，2），B（﹣1，﹣4），

由图象可知，＞2x﹣2时，x＜﹣1或0＜x＜2．

(3)、由（2）可知反比例函数解析式为y=，A（2，2），B（1，﹣4）， ∵四边形OBPQ是平行四边形，

∴OB=PQ，PO=BQ， ∵点B是定点，∴OB是定长， ∴要求平行四边形OBPQ的周长的最小值只需要求出OP的最小值即可， ∵P在y=上，设P（a，）， ∴OP2=n2+=（n﹣）2+8，

∴当n﹣=0时，OP2的值最小， ∴n=±2时，OP有最小值， ∴P（2，2）或（﹣2，﹣2），Q（1，﹣2）或（﹣3，﹣6）．