Question

【题目】已知抛物线l1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．

（1）求抛物线l2的解析式；

（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．

①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；

②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣2（2）①（，0）②（1，0），或（，0）

【解析】试题分析：(1)、首先根据二次函数的解析式得出点A和点B的坐标，然后将所求的二次函数设成交点式，将点D的坐标代入求出函数解析式；(2)、首先根据题意求出AB的长度，设点P的坐标为(x，0)，根据题意得出M和N的点坐标，根据四边形的面积=AB·MN得出函数解析式，然后根据二次函数的性质得出最大值；(3)、作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行，得出四边形CDNM为等腰梯形，根据题意得出△CGM和△DNH全等，设点P的坐标为(x，0)，得出点M、N的坐标，根据和为1求出方程的解，得出点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得出方程，从而求出x的值得出点P的坐标.

试题解析：（1）∵令﹣x2+2x+3=0， 解得：x1=﹣1，x2=3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）．

设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）． ∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2， ∴a=． ∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；

（2）①如图1所示：

∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB=4．

设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）． ∵MN⊥AB，

∴SAMBN=AB·MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）． ∴当x=时，SAMBN有最大值．

∴此时P的坐标为（，0）．

②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．

∵DC∥MN，CM=DN， ∴四边形CDNM为等腰梯形． ∴∠DNH=∠CMG．

在△CGM和△DNH中 ， ∴△CGM≌△DNH． ∴MG=HN． ∴PM﹣PN=1．

设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．

∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x﹣2）=1， 解得：x1=0（舍去），x2=1． ∴P（1，0）．

当CM∥DN时，如图3所示：∵DC∥MN，CM∥DN， ∴四边形CDNM为平行四边形．

∴DC=MN=5 ∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣2）=5， ∴x1=0（舍去），x2=，

∴P（，0）．

综上所述P点坐标为（1，0），或（，0）．