Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、ABC上，且AE=BF=1，CE、DF相交于点O，下列结论： ①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD= ，④△COD的面积等于四边形BEOF的面积中，正确的有 （ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4﹣1=3，
在△EBC和△FCD中，
，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°，故①正确；
连接DE，如图所示：

若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC= = ，故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD ，
∴S△EBC﹣S△FOC=S△FCD﹣S△FOC ，
即S△ODC=S四边形BEOF ， 故④正确；
故选C．
【考点精析】本题主要考查了正方形的性质和解直角三角形的相关知识点，需要掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．