Question

【题目】如图，直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图像都经过y轴上的D点，抛物线与x轴交于A、B两点，其对称轴为直线x=1，且OA=OD．直线y=kx+c与x轴交于点C（点C在点B的右侧）．则下列命题中正确命题的是（ ） ①abc＞0； ②3a+b＞0； ③﹣1＜k＜0； ④4a+2b+c＜0； ⑤a+b＜k．

A.①②③
B.②③⑤
C.②④⑤
D.②③④⑤

Answer 1

【答案】B
【解析】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0．
∵抛物线对称轴是x=1，
∴b＜0且b=﹣2a．
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
∴①abc＞0错误；
∵b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a＞0，
∴②3a+b＞0正确；
∵b=﹣2a，
∴4a+2b+c=4a﹣4a+c=c＞0，
∴④4a+2b+c＜0错误；
∵直线y=kx+c经过一、二、四象限，
∴k＜0．
∵OA=OD，
∴点A的坐标为（c，0）．
直线y=kx+c当x=c时，y＞0，
∴kc+c＞0可得k＞﹣1．
∴③﹣1＜k＜0正确；
∵直线y=kx+c与抛物线y=ax2+bx+c的图像有两个交点，
∴ax2+bx+c=kx+c，
得x1=0，x2= ．
由图像知x2＞1，
∴ ＞1
∴k＞a+b，
∴⑤a+b＜k正确，
即正确命题的是②③⑤．
故选B．
【考点精析】解答此题的关键在于理解抛物线与坐标轴的交点的相关知识，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．