Question

【题目】如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=2CE，连接DE，F为DE中点，以DF为直角边作等腰Rt△DFG，连接BG，将△DFG绕点D顺时针旋转得△DF′G′，G′恰好落在BG的延长线上，连接F′G，若BG=2 ，则S△GF′G′= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如图，作GM⊥BC于M，MG的延长线交AD于N，作DK⊥BG′于K，作KQ⊥DG′于Q，作F′H′BG′于H，BG′交AD于P．

∵BE=2EC，设EC=a，则BE=2a，BC=CD=MN=3a，

∵DG=GE，∠DGE=90°，易证△DGN≌△GEM，设EM=x，

则GN=EM=x，GM=DN=CM=a+x，

∴x+x+a=3a，

∴x=a，

∴BM=EM，∵GM⊥BE，

∴GB=GE=2 ，

∵GM=2a．EM=a，

在Rt△GEM中，可得5a2=20，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AB=BC=CD=AD=6，GM=4，CM=DN=4，AN=GN=2，DF=EF=GF=G′F′= ，DG=GE=DG′=2 ，

∵△GBM∽△BPA，

∴ = ，

∴ = ，

∴AP=PD=3，

由△APB∽△KPD，可得DK= ，

∵DG′=DG，DK⊥GG′，

∴G′K=GK= = ，

设BG′交DF′于T，作TR⊥DG′于R，

∵tan∠TG′R= = = ，设TR=3k，RG′=4k，

∵∠TDR=45°，

∴TR=DR=3k，

∴7k=2 ，

∴k= ，

∴TG′=5k= ，

由△′F′H∽△G′TF′，

可得G′H= ，

在Rt△G′F′H中，F′H= = ，

∴S△GG′F′= GG′F′H= × × = ，

所以答案是 ．

【考点精析】关于本题考查的等腰直角三角形和勾股定理的概念，需要了解等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．