Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（﹣8，0），B（0，﹣6）两点．

（1）求出直线AB的函数解析式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE= S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设直线AB的函数解析式为y=kx+b，

把A（﹣8，0），B（0，﹣6）代入得 ，解得 ，

所以直线AB的解析式为y=﹣ x﹣6

（2）解：在Rt△AOB中，AB= =10，

∵∠AOB=90°，

∴AB为⊙M的直径，

∴点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），

∵MC∥y轴，MC=5，

∴C（﹣4，2），

设抛物线的解析式为y=a（x+4）2+2，

把B（0，﹣6）代入得16a+2=﹣6，解得a=﹣ ，

∴抛物线的解析式为y=﹣ （x+4）2+2，即y=﹣ x2﹣4x﹣6

（3）解：存在．

当y=0时，﹣ （x+4）2+2=0，解得x1=﹣2，x2=﹣4，

∴D（﹣6，0），E（﹣2，0），

S△ABC=S△ACM+S△BCM= 8CM=20，

设P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），

∵S△PDE= S△ABC，

∴ （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，

即|﹣ t2﹣4t﹣6|=1，

当﹣ t2﹣4t﹣6=1，解得t1=﹣4+ ，t2=﹣4﹣ ，此时P点坐标为（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）

当﹣ t2﹣4t﹣6=﹣1，解得t1=﹣4+，t2=﹣4﹣ ；此时P点坐标为（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）

综上所述，P点坐标为（﹣4+ ，1）或（﹣4﹣ ，0）或（﹣4+ ，﹣1）或（﹣4﹣ ，0）时，使得S△PDE= S△ABC．

【解析】（1）利用待定系数法可求出直线AB的解析式；（2）先利用勾股定理计算出AB=10，再根据圆周角定理得到AB为⊙M的直径，则点M为AB的中点，M（﹣4，﹣3），则可确定C（﹣4，2），然后利用顶点式求出抛物线解析式；（3）通过解方程﹣ （x+4）2+2=0得到D（﹣6，0），E（﹣2，0），利用S△ABC=S△ACM+S△BCM ， 可求出S△ABC=10，设P（t，﹣ t2﹣4t﹣6），所以 （﹣2+6）|﹣ t2﹣4t﹣6|= 20，然后解绝对值方程求出t即可得到P点坐标．