Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，∠CDB=2∠ABD，∠ABC=105°，∠A=∠C=45°．

（1）求∠ABD；
（2）求证：CD=AB；
（3）如图2，过点C作CF⊥BD于点E，交AB于点F，若AB=3 ， 则BF+BE等于多少？

Answer 1

【答案】解：（1）∵∠ABC=105°，∠A=∠C=45°，
∴∠ADC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
设∠ABD=y，则∠CDB=2y，∠ADB=180°﹣45°﹣y=135°﹣y，
∴135°﹣y+2y=165°，
解得：y=30°，
即∠ABD=30°；
（2）证明：作DM⊥AB于E，BN⊥CD于F，如图所示：
设DN=x，
∵BN⊥CD，∠C=45°，
∴∠CBN=∠C=45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴CN=BN，
∵∠CDB=2×30°=60°，
∴∠DBN=30°，
∴BD=2DN=2x，
∴BN=CN=x，
∴CD=x+x，
∵DM⊥AB，
∴DM=BD=x，BM=DM=x，
∵∠A=45°，
∴△ADM是等腰直角三角形，
∴AM=DM=x，
∴AB=AM+BM=x+x，
∴CD=AB；
（3）解：由（2）得：CD=AB=3，x+x=3，
解得：x=，
∴BD=9﹣3，
∵CF⊥BD，
∴∠DCE=90°﹣60°=30°，
∴DE=CD=，
∴BE=BD﹣DE=9﹣，
∵∠ABD=30°，
∴BF==6﹣9，
∴BF+BE=6﹣9+9﹣=；
【解析】（1）由四边形内角和定理求出∠ADC=165°，设∠ABD=y，则∠CDB=2y，∠ADB=135°﹣y，得出方程135°﹣y+2y=165°，解方程即可；
（2）作DM⊥AB于E，BN⊥CD于F，设DN=x，证出△BCN是等腰直角三角形，得出CN=BN，求出∠DBN=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DN=2x，求出BN=CN=x，得出CD=x+x，同理得出AB=AM+BM=x+x，即可得出结果CD=AB；
（3）由（2）得：x+x=3 ， 求出x= ， 得出BD=9﹣3 ， 由含30°角的直角三角形的性质得出DE=CD= ， 得出BE=BD﹣DE=9﹣ ， 由三角函数求出BF=6﹣9，即可得出结果．