Question

【题目】如图，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接QE并延长交射线BC于点F．

(1)如图，当BP=BA时，∠EBF=______°，猜想∠QFC =______°；

(2)如图，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明．

(3)已知线段AB＝，设BP＝x，点Q到射线BC的距离为y，求y关于x的函数关系式．

Answer 1

【答案】（1）∠EBF=30°； ∠QFC=60°；（2）∠QFC=60°．（3）（x＞0）．

【解析】试题分析：（1）∠EBF与∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度数；利用观察法，或量角器测量的方法即可求得∠QFC的度数；

（2）根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，证明∠BAP=∠EAQ，进而得到△ABP≌△AEQ，证得∠AEQ=∠ABP=90°，则∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF；

（3）过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC，根据△ABP≌△AEQ得到：设QE=BP=x，则QF=QE+EF=x+2．点Q到射线BC的距离y=QH=sin60°×QF=（x+2），即可求得函数关系式．

试题解析：（1）∵∠ABC=90°，∠BAE=60°，

∴∠EBF=30°；

则猜想：∠QFC=60°；

（2）∠QFC=60°．

∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP，∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP，

∴∠BAP=∠EAQ

在△ABP和△AEQ中，

，

∴△ABP≌△AEQ （SAS）　

∴∠AEQ=∠ABP=90°

∴∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，

∴∠QFC=∠EBF+∠BEF=30°+30°=60°；

（3）在图1中，过点F作FG⊥BE于点G，过点Q作QH⊥BC于点H，

∵△ABE是等边三角形，

∴BE=AB=，

由（1）得∠EBF=30°，在Rt△BGF中，

∴FG=2，BF=4，∴EF=BF=4，

∵△ABP≌△AEQ，∴QE=PB=x，∴QF=QE+EF=x+4，

由（2）得∠QFC=60°，∴在Rt△QHF中，∠FQH=30°

即y关于x的函数关系式是：（x＞0）

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