Question

【题目】如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线．

(1)求证：△ABC≌△DNC；

(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）CP是⊙O的切线．证明见解析

【解析】

试题分析：（1）由题意要证全等，根据圆周角定理及等量代换得到全等条件即可解答；

（2）连接OC，利用等量代换证明角OCP为直角即可解答．

试题解析：（1）∵DM⊥AB，

∴∠AMN=90°，

∴∠MAN=90°-∠MNA，

又∵∠MNA=∠CND，

又∵∠D=90°-∠CND，

∴∠MAN=∠D，

又∵AC=CD，

AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°=∠NCD，

∴△ABC≌△DNC（ASA）

（2）CP是⊙O的切线．证明如下：

连接OC

∵CP为△CND的中线，

∴CP=PD=NP，

∴∠PCD=∠D=∠MAN．

又∠PCD+∠NCP=90°，∠MAN+∠MBC=90°，

∴∠NCP=∠MBC，

又∵OA=OC，

∴∠OCA=∠MAN

∴∠OCA+∠NCP=∠MAN+∠MBC=90°

∴CP是⊙O的切线．