Question

【题目】如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接BD并延长交AE于点F．

（1）求证：AEBC=ADAB；

（2）若半圆O的直径为10，sin∠BAC=，求AF的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件易证△EAD∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得结论；（2））作DM⊥AB于M，利用锐角三角函数和勾股定理分别求出DM、BM的长，再由DM∥AE，得,代入数据即可求得AF的长．

试题解析：（1）证明：∵AB为半圆O的直径，

∴∠C=90°，

∵OD⊥AC，

∴∠CAB+∠AOE=90°，∠ADE=∠C=90°，

∵AE是切线，

∴OA⊥AE，

∴∠E+∠AOE=90°，

∴∠E=∠CAB，

∴△EAD∽△ABC，

∴AE：AB=AD：BC，

∴AEBC=ADAB．

（2）解：作DM⊥AB于M，

∵半圆O的直径为10，sin∠BAC=，

∴BC=ABsin∠BAC=6，

∴AC==8，

∵OE⊥AC，

∴AD=AC=4，OD=BC=3，

∵sin∠MAD==，

∴DM=，AM===，BM=AB﹣AM=，

∵DM∥AE，

∴，

∴AF=．