Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）（1，0）或（2，0）．（3）y=x+或y=x+．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）平行四边形的对边相等，因此EF=OD=2，据此列方程求出点P的坐标；

（3）本问利用中心对称的性质求解．平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积．

解：（1）∵点A（﹣1，0）、B（3，0）在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴，

解得a=﹣1，b=2，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3．

（2）在抛物线解析式y=﹣x2+2x+3中，令x=0，得y=3，

∴C（0，3）．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将B（3，0），C（0，3）坐标代入得：

，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3．

设E点坐标为（x，﹣x2+2x+3），则P（x，0），F（x，﹣x+3），

∴EF=yE﹣yF=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∵四边形ODEF是平行四边形，

∴EF=OD=2，

∴﹣x2+3x=2，即x2﹣3x+2=0，

解得x=1或x=2，

∴P点坐标为（1，0）或（2，0）．

（3）平行四边形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点（或对角线的中点），过对称中心的直线平分平行四边形的面积，因此过点A与ODEF对称中心的直线平分ODEF的面积．

①当P（1，0）时，

点F坐标为（1，2），又D（0，2），

设对角线DF的中点为G，则G（，2）．

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（，2）坐标代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直线的解析式为：y=x+；

②当P（，0）时，

点F坐标为（2，1），又D（0，2），

设对角线DF的中点为G，则G（1，）．

设直线AG的解析式为y=kx+b，将A（﹣1，0），G（1，）坐标代入得：

，

解得k=b=，

∴所求直线的解析式为：y=x+．

综上所述，所求直线的解析式为：y=x+或y=x+．