Question

【题目】如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）证明：△AGE≌△ECF；

（2）连接GD，DF．判断四边形GEFD的形状，并说明理由；

Answer 1

【答案】(1)详见解析； (2)平行四边形

【解析】（1）证明：∵正方形ABCD，点G，E为边AB、BC中点，∴AG=EC，△BEG为等腰直角三角形，∴∠AGE=180°﹣45°=135°，又∵CF为正方形外角平分线，∴∠ECF=90°+45°=135°，∵∠AEF=90°，∴∠GAE=90°﹣∠AEB=∠CEF，在△AGE和△ECF中，∵∠AGE=∠ECF，AG=CE，∠GAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF（ASA）；

（2）四边形GEFD是平行四边形，理由如下：过点F作FM⊥BH于M，过F作FN⊥DC于N，易证△AGD≌△ABE，∴GD=AE，∠BAE=∠ADG，∵△AGE≌△ECF，∴AE=EF，∴GD=EF，在△AGD和△EFM中，∵∠DAG=∠FHE=90°，∠ADG=∠FEH，GD=FE，∴△AGD≌△EFM（AAS），∴GD=EF，在△DFN和△BGE中，∵DN=BE，∠DNF=∠B=90°，NF=BG，∴△DFN≌△BGE（ SAS），∴DF=GE，∴四边形GEFD是平行四边形．