Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．

（1）求k的值。
（2）求△BMN面积的最大值。
（3）若MA⊥AB，求t的值。

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得：

k=1×8=8，y=，

∴k=8

（2）

解：设直线AB的解析式为：y=kx+b，

根据题意得：，

解得：k=，b=﹣3，

∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；

设M（t，），N（t，t﹣3），

则MN=﹣t+3，

∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，

∴△BMN的面积S是t的二次函数，

∵﹣＜0，

∴S有最大值，

当t=3时，△BMN的面积的最大值为

（3）

解：∵MA⊥AB，

∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，

把点A（8，1）代入得：c=17，

∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，

解方程组得：或（舍去），

∴M的坐标为（，16），

∴t=

【解析】（1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．