【题目】定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段BD的“对角线正方形”．如图②，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，点P从点C出发，沿折线CA﹣AB以5cm/s的速度运动，当点P与点B不重合时，作线段PB的“对角线正方形”，设点P的运动时间为t（s），线段PB的“对角线正方形”的面积为S（cm2）．

（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段AB的“对角线正方形”．

（2）当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，求t的值．

（3）当点P沿折线CA﹣AB运动时，求S与t之间的函数关系式．

（4）在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠A的平分线上时，直接写出t的值．

参考答案：

【答案】（1）见解析；（2）；（3）S=；

（4）t的值为s 或1s或s

【解析】试题分析：（1）t=0时，正方形的对角线为4，由此即可求出面积．

（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，由PE∥AB，可得 ==，解得x=，再求出PC的长即可解决问题．

（3）分两种情形分别求解①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．求出PB2即可．②如图3中，当1＜t＜时，求出PB2即可．

（4）分三种情形讨论①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时．②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，分别求解即可．

试题解析：解：（1）线段AB的“对角线正方形”如图所示：

（2）如图1中，当线段PB的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x．∵PE∥AB，∴=，∴=，解得x=，∴PE=，CE=4﹣=，∴PC==，∴t==s；

（3）①如图2中，当0≤t≤1时，作PH⊥BC于H．

∵PC=5t，则HC=4t，PH=3t．在Rt△PHB中，PB2=PH2+BH2=（3t）2+（4﹣4t）2=25t2﹣32t+16，∴S=PB2=t2﹣16t+8．

②如图3中，当1＜t＜时，∵PB=8﹣5t，∴S=PB2=t2﹣40t+32．

综上所述：S=；

（4）①如图4中，当D、E在∠BAC的平分线上时，易知AB=AP=3，PC=2，∴t=s．

②当点P运动到点A时，满足条件，此时t=1s．

③如图5中，当点E在∠BAC的角平分线上时，作EH⊥BC于H．

易知EB平分∠ABC，∴点E是△ABC的内心，四边形EOBH是正方形，OB=EH=EO=BH==1（直角三角形内切圆半径公式），∴PB=2OB=2，∴AP=1，∴t=s．综上所述：在整个运动过程中，当线段PB的“对角线正方形”至少有一个顶点落在∠CAB的平分线上时，t的值为 s 或1s或 s；

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