Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_____．

Answer 1

【答案】1.2

【解析】

根据勾股定理的逆定理可以证明∠BAC=90°；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则AM=EF，要求AM的最小值，即求EF的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．

∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

∴AB2+AC2=BC2，

即∠BAC=90°.

又PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，

∴四边形AEPF是矩形，

∴EF=AP.

∵M是EF的中点，

∴AM=EF=AP.

因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，

∴AM的最小值是1.2.