Question

【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+3（a≠0）的图象经过点A（3，0），B（4，1），且与y轴交于点C，连接AB、AC、BC．

（1）求此二次函数的关系式；
（2）判断△ABC的形状；若△ABC的外接圆记为⊙M，请直接写出圆心M的坐标；
（3）若将抛物线沿射线BA方向平移，平移后点A、B、C的对应点分别记为点A1、B1、C1 ， △A1B1C1的外接圆记为⊙M1 ， 是否存在某个位置，使⊙M1经过原点？若存在，求出此时抛物线的关系式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把点A（3，0），B（4，1）代入y=ax2+bx+3中，

，

解得： ，

所以所求函数关系式为：y= x2﹣ x+3；

（2）

解：△ABC是直角三角形，

过点B作BD⊥x轴于点D，

易知点C坐标为：（0，3），所以OA=OC，

所以∠OAC=45°，

又∵点B坐标为：（4，1），

∴AD=BD，

∴∠OAC=45°，

∴∠BAC=180°﹣45°﹣45°=90°，

∴△ABC是直角三角形，

圆心M的坐标为：（2，2）；

（3）

解：存在

取BC的中点M，过点M作ME⊥y轴于点E，

∵M的坐标为：（2，2），

∴MC= = ，OM=2 ，

∴∠MOA=45°，

又∵∠BAD=45°，

∴OM∥AB，

∴要使抛物线沿射线BA方向平移，且使⊙M1经过原点，

则平移的长度为：2 ﹣ 或2 + ；

∵∠BAD=45°，

∴抛物线的顶点向左、向下均分别平移 = 个单位长度

或 = 个单位长度，

∵y= x2﹣ x+3= （x﹣ ）2﹣ ，

∴平移后抛物线的关系式为：y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，

即y= （x﹣ ）2﹣ ，

或y= （x﹣ + ）2﹣ ﹣ ，

即y= （x﹣ ）2﹣ ．

综上所述，存在一个位置，使⊙M1经过原点，此时抛物线的关系式为：

y= （x﹣ ）2﹣ 或y= （x﹣ ）2﹣ ．

【解析】（1）直接利用待定系数法求出a，b的值进而得出答案；（2）首先得出∠OAC=45°，进而得出AD=BD，求出∠OAC=45°，即可得出答案；（3）首先利用已知得出圆M平移的长度为：2 ﹣ 或2 + ，进而得出抛物线的平移规律，即可得出答案．