Question

【题目】已知抛物线y=3ax2+2bx+c，
（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；
（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；
（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，

方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1， ．

∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（ ，0）；

（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．

对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤ ．

①当 时，由方程3x2+2x+ =0，解得x1=x2=﹣ ．

此时抛物线为y=3x2+2x+ 与x轴只有一个公共点（﹣ ，0）；

②当 时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；

x2=1时，y2=3+2+c=5+c．

由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，

应有 即 ，

解得﹣5＜c≤﹣1．

综上， 或﹣5＜c≤﹣1．（6分）

（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，

由已知x1=0时，y1=c＞0；

x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，

又∵a+b+c=0，

∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．

∴2a+b＞0．

∵b=﹣a﹣c，

∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．

∴a＞c＞0．（7分）

∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，

∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．

又该抛物线的对称轴 ，

由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，

得﹣2a＜b＜﹣a，

∴ ．

又由已知x1=0时，y1＞0；

x2=1时，y2＞0，观察图象，

可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．

【解析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，然后令y=0可得到关于x的方程，然后求得方程的两根，从而可得到抛物线与x轴交点坐标；
（Ⅱ）把a，b代入可得到抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴为x=-，然后再分为△=0和△＞0两种情况求解即可；
（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，接下来，判断出方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．
【考点精析】掌握抛物线与坐标轴的交点是解答本题的根本，需要知道一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．