Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点G是△ABC的重心，且AG⊥CG，CG的延长线交AB于H．

（1）求证：△CAG∽△ABC；

（2）求S△AGH：S△ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析； （2）

【解析】试题分析：（1）设GH=a，根据重心的性质得CG=2HG=2a，根据重心的定义得CH为AB边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到CH=AH=BH=3a，则∠1=∠B，再利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠B=∠3，加上∠ACB=∠AGC=90°，于是根据相似三角形的判定方法得到△CAG∽△ABC；

（2）由点G是△ABC的重心，得到CG=2HG，于是得到HG=CH，求得S△AHG=S△ACH，根据CH为AB边上的中线，于是得到S△ACH=S△ABC，推出S△AHG=×S△ABC，即可得到结论．

试题解析：证明：（1）如图，设GH=a，∵点G是△ABC的重心，∴CG=2HG=2a，CH为AB边上的中线，∴CH=AH=BH=3a，∴∠1=∠B，∵AG⊥CG，∴∠2+∠3=90°，而∠1+∠2=90°，∴∠1=∠3，∴∠B=∠3，而∠ACB=∠AGC=90°，∴△CAG∽△ABC；

（2）∵点G是△ABC的重心，∴CG=2HG，∴HG=CH，∴S△AHG=S△ACH，∵CH为AB边上的中线，∴S△ACH=S△ABC，∴S△AHG=×S△ABC，∴S△AGH：S△ABC=．