Question

【题目】已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E．

（1）如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；

（2）如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF=∠ABE；

（3）如图3，在（2）的条件下，作EG平分∠CEF，交DF于点G，作ED平分∠BEF，交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度数．

Answer 1

【答案】（1）结论：∠ECD=90°+∠ABE．理由见解析；（2）见解析；（3）∠BEG=105°．

【解析】

（1）结论：∠ECD=90°+∠ABE．如图1中，从BE交DC的延长线于H．利用三角形的外角的性质即可证明；

（2）只要证明∠CEF与∠CEM互余，∠BEM与∠CEM互余，可得∠CEF=∠BEM即可解决问题；

（3）如图3中，设∠GEF=α，∠EDF=β．想办法构建方程求出α即可解决问题

（1）结论：∠ECD=90°+∠ABE．

理由：如图1中，延长BE交DC的延长线于H．

∵AB∥CH，

∴∠ABE=∠H，

∵BE⊥CE，

∴∠CEH=90°，

∴∠ECD=∠H+∠CEH=90°+∠H，

∴∠ECD=90°+∠ABE．

（2）如图2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，

∴AB∥CD∥EM，

∴∠BEM=∠ABE，∠F+∠FEM=180°，

∵EF⊥CD，

∴∠F=90°，

∴∠FEM=90°，

∴∠CEF与∠CEM互余，

∵BE⊥CE，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEM与∠CEM互余，

∴∠CEF=∠BEM，

∴∠CEF=∠ABE．

（3）如图3中，设∠GEF=α，∠EDF=β．

∴∠BDE=3∠GEF=3α，

∵EG平分∠CEF，

∴∠CEF=2∠FEG=2α，

∴∠ABE=∠CEF=2α，

∵AB∥CD∥EM，

∴∠MED=∠EDF=β，∠KBD=∠BDF=3α+β，∠ABD+∠BDF=180°，

∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β，

∵ED平分∠BEF，

∴∠BED=∠FED=2α+β，

∴∠DEC=β，

∵∠BEC=90°，

∴2α+2β=90°，

∵∠DBE+∠ABD=180°，∠ABD+∠BDF=180°，

∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β，

∵∠ABK=180°，

∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°，

即2α+（3α+β）+（3α+β）=180°，

∴6α+（2α+2β）=180°，

∴α=15°，

∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°+15°=105°．