Question

【题目】如图1，在等边△ABC的边AC的延长线上取一点E，以CE为边作等边△CDE，使它与△ABC位于直线AE的同侧．
（1）同学们对图1进行了热烈的讨论，猜想出如下结论，你认为正确的有（填序号）． ①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ； ③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等边三角形．
（2）当等边△CED绕C点旋转一定角度后（如图2），（1）中有哪些结论还是成立的？并对正确的结论分别予以证明．

Answer 1

【答案】
（1）①②③④⑤
（2）解：当等边△CED绕C点旋转一定角度后 （1）中结论①、④仍然成立，证明如下：

∵△ABC和△CDE是等边三角形

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠BCE=∠CAD，

又∵∠APC=∠BPR，

∴∠ACB=∠ARB，

∵∠ACB=60°，

∴∠ARB=60°．

【解析】解：（1）∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC，
同理证明△ACP≌△BCQ；△DCP≌△ECQ；
进而得出∠ARB=60°；△CPQ是等边三角形；
所以正确的有①②③④⑤；
故答案为：①②③④⑤；
（1）根据等边三角形的性质得出各角都是60°，各边相等，再利用全等三角形的判定和性质证明即可；（2）根据旋转的性质和全等三角形的判定解答即可．