Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从点C出发沿边CB向点B以每秒a个单位长度的速度运动，过点P作PD⊥BC，交AB于点D，连接PQ．当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．

（1）当a=2时，解答下列问题：

①QB=　 　，PD=　 　．（用含t的代数式分别表示）

②通过计算说明，不存在t的值使得四边形PDBQ为菱形．

（2）当a为某个数值时，四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求a的值及四边形PDBQ为菱形时t的值．

（3）当t=2时，在整个运动过程中，恰好存在线段PQ的中点M到△ABC三边距离相等，直接写出此刻a的值．

Answer 1

【答案】（1）①8﹣2t，t，②不存在，理由见解析；

（2）经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）满足条件的a的值为2．

【解析】试题分析：（1）①根据题意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，即可得tanA===，则可求得QB与PD的值；

②易得△APD∽△ACB，即可求得AD与BD的长，由BQ∥DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定PDBQ不能为菱形；

（2）设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程即可求得答案；

（3）由题意AP=2，PC=4，CQ=2a，又QM=PM，点M到△ABC是三边距离相等，推出CM是∠PCQ的平分线，推出PC=CQ，可得2a=4，推出a=2，经检验，此时点M是△ABC的内心，由此即可解决问题；

试题解析：（1）①根据题意得：CQ=2t，PA=t，

∴QB=8﹣2t，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，

∴∠APD=90°，

∴tanA===，

∴PD=t．

故答案为：（1）8﹣2t，t．

②不存在

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，

∴AB=10

∵PD∥BC，

∴△APD∽△ACB，

∴=，即=，

∴AD=t，

∴BD=AB﹣AD=10﹣t，

∵BQ∥DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

即8﹣2t=，解得：t=．

当t=时，PD=×=，BD=10﹣×=6，

∴DP≠BD，

∴PDBQ不能为菱形．

（2）设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ=8﹣vt，PD=t，BD=10﹣t，

要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，

当PD=BD时，即t=10﹣t，解得：t=，

当PD=BQ，t=时，即×=8﹣v，解得：v=；

当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形．

（3）由题意AP=2，PC=4，CQ=2a，

∵QM=PM，点M到△ABC是三边距离相等，

∴CM是∠PCQ的平分线，

∴PC=CQ，

∴2a=4，

∴a=2，经检验，此时点M是△ABC的内心，

∴满足条件的a的值为2．