Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 ，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF

（2）解：能．理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

∵AB=BCtan30°=5 =5，

∴AC=2AB=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD为菱形，则需AE=AD，

即t=10﹣2t，t= ．

即当t= 时，四边形AEFD为菱形

（3）解：①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．

在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，

∴AD=2AE．

即10﹣2t=2t，t= ．

②∠DEF=90°时，由（2）四边形AEFD为平行四边形知EF∥AD，

∴∠ADE=∠DEF=90°．

∵∠A=90°﹣∠C=60°，

∴AD=AEcos60°．

即10﹣2t= t，t=4．

③∠EFD=90°时，此种情况不存在．

综上所述，当t= 秒或4秒时，△DEF为直角三角形

【解析】（1）在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，由已知条件求证；（2）求得四边形AEFD为平行四边形，若使AEFD为菱形则需要满足的条件及求得；（3）①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．在直角三角形AED中求得AD=2AE即求得．②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，则得∠ADE=∠DEF=90°，求得AD=AEcos60°列式得．③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
【考点精析】关于本题考查的含30度角的直角三角形和菱形的性质，需要了解在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半才能得出正确答案．