Question

【题目】已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB=EF=6cm，BC=FP=8cm，∠EFP=90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，FQ，当点Q停止运动时，△EFQ也停止运动．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设五边形AFPQM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1中，

当PQ∥BD时， = ，

∴ = ，

∴t= ，

∴t= s时，PQ∥BD．

（2）

解：如图2中，

当0＜t＜6时，S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC

= （8+8﹣t+8）6﹣ （6﹣t） （6﹣t）﹣ （8﹣t）t

= t2﹣ t+ ．

（3）

解：如图2中，

假设存在，则有（ t2﹣ t+ ．）：48=9：8，

解得t=2或18（舍弃），

∴t=2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD=9：8．

（4）

解：存在．

理由：如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．

易知：AG=6﹣ t．DQ=6﹣t，DM=KC= （6﹣t），PK=8﹣t﹣ （6﹣t），MK=CD=6，

∵点M在PG的垂直平分线上，

∴MG=MP，

∴AG2+AM2=PK2+MK2，

∴（6﹣ t）2+[8﹣ （6﹣t）]2=62+[8﹣t﹣ （6﹣t）]2，

解得t= 或0（舍弃），

∴t= s时，点M在线段PG的垂直平分线上

【解析】（1）如图1中，当PQ∥BD时， = ，可得 = ，解方程即可；（2）如图2中，当0＜t＜6时，S五边形AFPQM=S梯形AFCD﹣S△DMQ﹣S△PQC ， 由此计算即可解决问题；（3）假设存在，根据题意列出方程即可解决问题；（4）如图3中，连接MG、MP，作MK⊥BC于K．理由勾股定理，根据MG=MP，列出方程即可解决问题；
【考点精析】掌握平行线分线段成比例是解答本题的根本，需要知道三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．