Question

【题目】如图1，有两个全等的直角三角形△ABC和△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，点D在边AB上，且AD=BD=CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K．

（1）如图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CKMK（填“＞”，“＜”或“=”），你的依据是；

（2）如图4，当∠CDF=30°时，AM+CKMK（填“＞”或“＜”）；

（3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CKMK，试证明你的猜想．.

Answer 1

【答案】
（1）=,等腰三角形的性质
（2）＞
（3）＞,证明：作点A关于ED的对称点G,连接GK,GM,GD．∵点G是点A关于直线DE的对称点∴AD=GD,GM=AM,∠GDM=∠ADM,∵Rt△ABC 中,D是AB的中点,∴AD=CD=GD．∵∠A=∠E=30°,∴∠CDA=120°,∠EDF=60°, ∴∠GDM+∠GDK=60°,∠ADM+∠CDK=60°,∴∠GDK=∠CDK,在△GDK和△CDK中,∵ ,∴△GDK≌△CDK（SAS）,∴GK=CK,∵GM+GK＞MK,∴AM+CK＞MK．
【解析】（1）如图2当∠CDF=0°时，DK与DC重合，CK=0，根据等边对等角得出∠CAD=ACD=30，又因∠FDE=60，故∠DMC=90,即DMAC，根据等腰三角形的三线合一得出AM=CM,从而得出AM+CK=MK;如图3，当∠CDF=60°时，AK与DM重合，AM=0,又因∠FDE=60，CAD=30故∠DKA=90,即DKAC，根据等腰三角形的三线合一得出AK=CK,从而得出AM+CK=AK;
(2)如图4，当∠CDF=30°时，根据等边对等角得出A=ACD=30又∠CDF=30°∠EDF=60°，故ACD=30=∠CDF=A=ADM,葱的得出AM=MD,DK=CK,在△DKM中DM+DKMK,从而得出AM+CKMK;
(3)作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD．根据对称性知：AD=GD，GM=AM，∠GDM=∠ADM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得AD=CD=GD，根据等式的性质知∠GDK=∠CDK，从而用SAS判断出△GDK≌△CDK，根据全等三角形的性质GK=CK，根据三角形三边的关系知GM+GK＞MK，从而得出AM+CK＞MK．

【考点精析】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质的相关知识点，需要掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）才能正确解答此题．