Question

【题目】在ΔABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角∠ACE的平分线相交于点D。

⑴．若∠ABC=60°，∠ACB=40°,求∠A和∠D的度数。

⑵．由⑴小题的计算结果，猜想，∠A和∠D有什么数量关系，并加以证明。

Answer 1

【答案】（1）∠A=80°,∠D=40°；（2）∠A=2∠D，理由见解析

【解析】

（1）根据三角形内角和定理，已知∠ABC=60°，∠ACB=40°，易求∠A，根据角平分线定义和外角的性质即可求得∠D度数.

（2）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D的等式，再与∠A比较即可解答．

(1)在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=40°，

∴∠A=180°∠ABC∠ACB=80°，

∵BD为∠ABC，CD为∠ACE的角平分线，

∴∠DBC=∠ABC=×60°=30°，

∠ACD= (180°∠ACB)=×140°=70°，

∴∠D=180°∠DBC∠ACB∠ACD=180°30°40°70°=40°，

∴∠A=80°,∠D=40°；

(2)通过第(1)的计算，得到∠A=2∠D，理由如下：

∵∠ACE=∠A+∠ABC，

∴∠ACD+∠ECD=∠A+∠ABD+∠DBE，∠DCE=∠D+∠DBC，

又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，

∴∠ABD=∠DBE，∠ACD=∠ECD，

∴∠A=2(∠DCE∠DBC)，∠D=∠DCE∠DBC，

∴∠A=2∠D.