Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是边BM，CM的中点，当AB与AD满足什么条件时，四边形MENF是正方形？说明理由．

Answer 1

【答案】当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，理由见解析.

【解析】

当AB∶AD＝1∶2时，AB＝AM＝DM＝DC，求出∠BMC＝90°，根据三角形中位线定理得到，NF∥BM，NE∥CM，结合ME＝MF，∠BMC＝90°，可得四边形MENF是正方形.

当AB∶AD＝1∶2时，四边形MENF是正方形，

理由：∵AB∶AD＝1∶2，AM＝DM，AB＝CD，

∴AB＝AM＝DM＝DC，

∵∠A＝∠D＝90°，

∴∠ABM＝∠AMB＝∠DMC＝∠DCM＝45°，

∴∠BMC＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴∠MBC＝∠MCB＝45°，

∴BM＝CM，

∵N，E，F分别是BC，BM，CM的中点，

∴BE＝CF，ME＝MF，NF∥BM，NE∥CM，

∴四边形MENF是平行四边形，

∵ME＝MF，∠BMC＝90°，

∴四边形MENF是正方形.