Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx﹣4的图象经过A（﹣1，0）、B（4，0）两点，于y轴交于点D．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）已知点C（3，m）在这个二次函数的图象上，连接BC，点P为抛物线上一点，且∠CBP=60°．

①求∠OBD的度数；

②求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；（2）①60°，②（-，）

【解析】分析：（1）代入A、B点坐标即可求得a、b的值，即可解题；

（2）①易证△BOD是含30°角的直角三角形，即可解题；

②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，易证△CBF∽△PBE，可得，即可解题．

详解：（1）由题意知：，解得．

∴该二次函数的表达式为y=x2﹣3x﹣4；

（2）①∵当x=0时，y=﹣4．

∴抛物线与y轴交点D的坐标为（0，﹣4）．

∵在△BOD中，∠BOD=90°，OB=4，OD=4，

∴BD==8，即BD=2OB，

∴∠ODB=30°．

∴∠OBD=60°；

②过点P作PE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥BD于点F，

∵x=3时，m=﹣4．

∴点C的坐标为（3，﹣4）．

∵CD∥x轴，

∴CD=3，∠CDB=60°，∠DCF=30°．

∴DF=CD=，CF=，

∵BD=8，

∴BF=8﹣=，

设点P的坐标为（x，x2﹣3x﹣4）．

则PE=﹣x2+3x+4，BE=4﹣x，

∵∠CBP=∠OBD=60°，

∴∠CBF=∠PBE．

∵∠CFB=∠PEB=90°．

∴△CBF∽△PBE．

∴．

∴，

解得：x1=4（舍去），x2=﹣．

∵当x=﹣时，y=﹣．

∴点P的坐标为（﹣，﹣）．