Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向A点匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．

（1）AC的长是　　，AB的长是　　．

（2）在D、E的运动过程中，线段EF与AD的关系是否发生变化？若不变化，那么线段EF与AD是何关系，并给予证明；若变化，请说明理由．

（3）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t=时，四边形AEFD为菱形

【解析】

（1）在Rt△ABC中，∠C=30°，则AC=2AB，根据勾股定理得到AC和AB的值．
（2）先证四边形AEFD是平行四边形，从而证得AD∥EF，并且AD=EF，在运动过程中关系不变．
（3）求得四边形AEFD为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出AE=AD时，求出t的值，进而得出答案．

（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=30°，

∴AC=2AB，

根据勾股定理得：AC2﹣AB2=BC2，

∴3AB2=75，

∴AB=5，AC=10；

（2）EF与AD平行且相等．

证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，

∴DF=t．

又∵AE=t，

∴AE=DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

∴四边形AEFD为平行四边形．

∴EF与AD平行且相等．

（3）解：能；

理由如下：

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF．

又∵AE=DF，

∴四边形AEFD为平行四边形．

∵AB=5，AC=10．

∴AD=AC﹣DC=10﹣2t．

若使AEFD为菱形，则需AE=AD，

即t=10﹣2t，解得：t=．

即当t= 时，四边形AEFD为菱形．

故答案为：（1）AB=5，AC=10；（2）EF与AD平行且相等；（3）当t= 时，四边形AEFD为菱形．