Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位线定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．

解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N

∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°

∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2

∴AM=DM=DC=2

∴△CDM是等边三角形

∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC

∴∠MAC=∠MCA=30°

∴∠ACD=90°

∴AC=2

在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30°

∴AN=AC=

∵AE=EH，GF=FH

∴EF=AG

∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长

∵AG的最大值为2，最小值为

∴EF的最大值为，最小值为

∴EF的最大值与最小值的差为-=．

故答案为．