Question

【题目】如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.

Answer 1

【答案】110° 70°

【解析】

①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；

②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；

①∵，

∴∠BAC+∠BCA=140°，

∵AI、CI分别是、的角平分线，

∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，

∴∠AIC=180°-70°=110°；

②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，

∵CI平分∠ACB，

∴∠ACI=∠BCI，

在△ACI与△DCI中，

，

∴△ACI≌△DCI（SAS），

∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，

∵BC=AI+AC，

∴BD=AI，

∴BD=DI，

∴∠IBD=∠BID，

∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，

又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，

∴BI是∠ABC的平分线，

∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，

∴∠CDI=∠ABC，

∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，

∵∠ABC=35°，

∴∠BAC=35°×2=70°．