Question

【题目】如图，矩形ABCD中，点E、F、G． H分别AB、BC、 CD、 DA边上的动点，且AE=BF=CG=DH

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形：

(2)在点E、F、G、H运动过程中，判断直线GE是否经过某一定点，如果是，请你在图中画出这个点：如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是，直线GE总过AC、BD的交点M，作图见解析．

【解析】

（1）由矩形的性质得出∠A=∠C=90°，BC=AD，由AE=BF=CG=DH证出AH=CF，由SAS证明△AEH≌△CGF，可得HE=FG，同理可得HG=FE即可求解；

（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．只要证明四边形AECG是平行四边形，即可推出MA=MG，MG=ME，即点M为AC的中点，又矩形ABCD的对角线互相平分，推出点M为矩形对角线ACBD的交点．

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴BC=AD，∠A=∠C=90°，

∵BF=DH，

∴BC-BF=AD-DH，即CF=AH，

又AE=CG，

∴△HAE≌△FCG，

∴HE=FG，

同理可证：HG=FE，

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）直线GE经过一个定点，这个定点为矩形的对角线AC、BD的交点．

理由如下：

如图，连结AC、AG、CE，设AC、EG的交点为M．

∵AE∥CG，AE=CG，

∴四边形AECG是平行四边形，

∴MA=MG，MG=ME，

即点M为AC的中点，

又矩形ABCD的对角线互相平分

∴点M为矩形对角线ACBD的交点，

∴直线GE总过AC、BD的交点M．