2006年上海市普通高等学校招生考试
数学模拟试卷(一)
一、填空题(本大题满分48分,每小题4分,共12小题)
1.的共轭复数是____________.
2.=__________.
3.命题“若,则
”的逆否命题是_______________________________.
4.已知,
的值为_____.
5.若圆与直线
相切,且其圆心在
轴的左侧,则
的值为
__________.
6.若关于的不等式
的解集不是空集,则实数
的取值范围是_________.
7..若是公差非零的等差数列,
是数列
的前
项和,则
______.
8.若函数的反函数是
,则
_____.
9.如图,正方体的棱长为
,将该正方体沿对角面
切成两块,再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱,那么所得四棱柱的全面积为__________.
10.若由图(1)有面积关系:
, 则由图(2)有体积关系:
________________.
图(1) 图(2)
11.若双曲线的渐近线方程为,则双曲线的焦点到渐进线的距离与焦点到对称
中心的距离之比为_______________.
12.构造一个函数,使它的最小正周期为5,且满足
,
则_____________.
二、选择题(本大题满分16分,每小题4分,共4小题)
13.有如下三个命题:
①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;
②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;
③过平面的一条斜线有一个平面与平面
垂直。
其中正确命题的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14.如果函数的最小正周期是T,且当
时取得最大值,那么( )
(A) (B)
(C) (D)
15.设,“
”是“曲线
为椭圆”的( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
16.已知双曲线的两个焦点为,
,P是此双曲线上的一点,且
,
,则该双曲线的方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
三、解答题(本大题满分86分,本大题共有6题)
17.(本小题满分12分)
设函数的定义域为集合M,函数
的定义域为集合N.
求:(1)集合M,N;
(2)集合,
.
18.(本小题满分12分)
现有四个正四棱柱形容器,1号容器的底面边长是,高是
;2号容器的底面边长是
,高是
;3号容器的底面边长是
,高是
;4号容器的底面边长是
,高是
。假设
,问是否存在一种必胜的4选2的方案(与
的大小无关),使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和?无论是否存在必胜的方案,都要说明理由.
19.(本小题满分14分)
已知在中,
。
(1)求的外接圆半径和角
的值;
(2)求的取值范围。
20.(本小题满分14分)
某种电热淋浴器的水箱盛满水是升,加热到一定温度,即可供淋浴用,在放水的同时自动注水,设
分钟内注水
升,
分钟内放水
升。当水箱内水量接近最小值时,必须停止放水并将水箱注满,加热升温,经一定时间后,才能继续放水使用。
(1)放水后几分钟水箱内水量接近最少?
(2)规定每人洗浴用水量为升,则该淋浴器一次可最多连续供多少人洗浴?
21.(本小题满分16分)
数列的前
项和为
,
。
(1)若数列成等比数列,求常数
的值;
(2)求数列的通项公式
;
(3)数列中是否存在连续三项可以构成等差数列?若存在,请求出一组适合条件的三
项;若不存在,请说明理由。
22.(本小题满分18分)
设是定义在
上的函数,如果存在
点,对函数
的图像上任意点
,
关
于点的对称点
也在函数
的图像上,则称函数
关于点
对称,
称为
函数的一个对称点. 对于定义在
上的函数
,可以证明点
是
图像
的一个对称点的充要条件是,
.
(1) 求函数图像的一个对称点;
(2)
函数(
的图像是否有对称点?若存在则求之,否则说明理由.
2006年上海市普通高等学校招生考试
一、填空题(本大题满分48分,每小题4分,共12小题)
1.; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
;
6.; 7.
; 8.
; 9.
; 10.
;
11.; 12.
.
二、选择题(本大题满分16分,每小题4分,共4小题)
13.C; 14.A; 15.B; 16.C;
三、解答题(本大题满分86分,本大题共有6题)
17.(1);
(2);
18.1号至4号正四棱柱形容器是体积依次为。
∵ ,
,
∴ 存在必胜方案,即选择3号和4号容器。
19.(1)∵ 由正弦定理,,∴
,
。
∵ , ∴
,即
。∴
。
(2)∵ ,
∴ 。
20.(1)设放水分钟内水箱中的水量为
升
依题意得;
分钟时,水箱的水量
升, 放水后
分钟水箱内水量接近最少;
(2)该淋浴器一次有个人连续洗浴, 于是,
,
所以,一次可最多连续供7人洗浴。
21.(1)由及
,∴
时
成等比数列。
(2)因,由(1)知,
,故
。
(3)设存在,使得
成等差数列,则
,
即因
,所以
,
∴不存在中的连续三项使得它们可以构成等差数列。
22.(1)解:设为函数
图像的一个对称点,则
对于
恒成立.即
对于
恒成立,
由
,故
图像的一个对称点为
.
(2)解:假设是函数
(
的图像的一个对称点,
则(
对于
恒成立,
即对于
恒成立,因为
,所以
不
恒成立,
即函数(
的图像无对称点.
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