解:取与取是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

例2 在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和大于20的不同取法共有多少种?

解:分类标准一,固定小加数.小加数为1时,大加数只有20这1种取法;小加数为2时,大加数有19或20两种取法;小加数为3时,大加数为18,19或20共3种取法…小加数为10时,大加数为11,12,…,20共10种取法;小加数为11时,大加数有9种取法…小加数取19时,大加数有1种取法.由分类计数原理,得不同取法共有1+2+…+9+10+9+…+2+1=100种.

分类标准二:固定和的值.有和为21,22,…,39这几类,依次有取法10,9,9,8,8, …,2,2,1,1种.由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+…+2+2+1+1=100种.

例3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为()

     A. 180    B. 160    C. 96    D. 60

若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)

例4 如下图,共有多少个不同的三角形?

解:所有不同的三角形可分为三类”

第一类:其中有两条边是原五边形的边,这样的三角形共有5个

第二类:其中有且只有一条边是原五边形的边,这样的三角形共有5×4=20个

第三类:没有一条边是原五边形的边,即由五条对角线围成的三角形,共有5+5=10个

由分类计数原理得,不同的三角形共有5+20+10=35个.

例5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.  

由于 75600=2⁴×3³×5²×7

(1) 75600的每个约数都可以写成的形式,其中,,,

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.

1.用1,2,3,4,5可组成多少个三位数?(各位上的数字允许重复)

2.用数字1,2,3可写出多少个小于1000的正整数? (各位上的数字允许重复)

3.集合A=｛a,b,c,d,e｝,集合B=｛1,2,3｝,问A到B的不同映射f共有多少个?B到A的映射g共有多少个?

4.将3封信投入4个不同的邮筒的投法共有多少种?

5. 4名学生从3个不同的楼梯下楼的方法数.

6. 4名学生分配到3个车间去劳动,共有多少中不同的分配方案?

7. 求集合｛1,2,3,4,5｝的子集的个数

答案：1. 5×5×5×5=625   2. 3+3²+3³=39   3. 3⁵,5³  4. 4³  5. 3⁴  6.  3⁴ 

 7. 在集合｛1,2,3,4,5｝的子集中,每个元素都只有出现和不出现这2种可能,所以这个集合的子集的个数为2×2×2×2×2=2⁵=32个.

五、课后作业： 

1．用0，1，2，3，4，5这六个数字，
（1）可以组成多少个数字不重复的三位数？
（2）可以组成多少个数字允许重复的三位数？
（3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？
（4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？
（5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？
 解（1）分三步：①先选百位数字．由于0不能作百位数，因此有5种选法；②十位数字有5种选法；
 ③个位数字有4种选法．由乘法原理知所求不同三位数共有5×5×4=100个．
（2）分三步：(1)百位数字有5种选法；(ii)十位数字有6位选法；(iii)个位数字有6种选法．
  所求三位数共有5×6×6=180个．
（3）分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也是4 
  种选法，所求三位奇数共有3×4×4=48个．
（4）分三类：①一位数，共有6个；②两位数，共有5×5=25个；③三位数共有5×5×4=100个．
 因此，比1000小的自然数共有6+25+100=131个．
（5）分4类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为 
 0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；③千位数字是5，百位数字是4，十位数字为0，1之一
 时，共有2×3=6个；④还有5420也是满条件的1个．故所求自然数共120+48+6+1=175个．
说明：⑴排数字问题是最常见的一种类型，要特别注意首位不能排0．

⑵第（5）题改成：可以组成多少个大于3000，小于5421的四位数？

答案：2*6*6*6+4*6*6+2*6+1=589个

2．求下列集合的元素个数．
（1）；
（2）．
解：(1)分7类：①，有7种取法；②，有6种取法； ③，有5种取法； ④，有4种取法； ⑤，有3种取法； ⑥，有2种取法；⑦，只有1种取法因此共有个元素
(2)分两步：①先选，有4种可能；②再选有5种可能．由乘法原理，共有个元素

3．有四位同学参加三项不同的比赛，

（1）每位同学必须参加一项竞赛，有多少种不同的结果？

（2）每项竞赛只许一位学生参加，有多少种不同的结果？

解：（1）每位学生有三种选择，四位学生共有参赛方法：种；

（2）每项竞赛被选择的方法有四种，三项竞赛共有参赛方法：种.

4．①设，，从到共有多少个不同映射？
②6个人分到3个车间，共有多少种分法？
解：（1)分6步：先选的象，有3种可能，再选的象也是3种可能，…，选象也有3种可能， 由乘法原理知，共有种不同映射；
(2)把6个人构成的集合，看成上面(1)中之，3个车间构成的集合，看成上面的， 因此，所求问题转化为映射问题，如上题所述，共有种方案
5.甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己所写的贺卡,共有多少种不同的取法?
解:列表排出所有的分配方案,共有3+3+3=9种,或种．

六、板书设计（略）

七、课后记：