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（4）(2009年4月北京海淀区高三一模文)已知
是直线，
、
是两个不同平面，下列命题中真命题是（ C ）
（A）若
，
，则
（B）若
，，则
（C）若
，，则
（D）若，
，则
４．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)对于两条直线
和平面，若
，则“
”是“
”的(D)
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(5) (北京市朝阳区2009年4月高三一模理)用一平面去截体积为
的球，所得截面的面积为
，则球心到截面的距离为（ C ）
A. 
B.
C.
D.
5. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文理)已知直线a 和平面
，那么
的一个充分条件是（ C ）
A. 存在一条直线b，
B. 存在一条直线b，
C. 存在一个平面
D. 存在一个平面
5. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试理) 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α//β的一个充分条件是 ( D )
A.m
α，mβ
B.α⊥γ，β⊥γ
C.m⊂α,n⊂β， m∥n D. m、n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α
5．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)下列命题中，正确的命题是 ( B )
A．过空间任一点P均存在着与平面平行的直线
B．过空间任一点P均存在着与平面垂直的直线
C．过空间任一点P均存在着与平面平行的无数多条直线
D．过空间任一点P均存在着与平面垂直的无数多条直线
5．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)两个平面 与相交但不垂直，直线
在平面内，则在平面内 （ C ）
A．一定存在与直线平行的直线
B．一定不存在与直线平行的直线
C．一定存在与直线垂直的直线
D．不一定存在与直线垂直的直线
3. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)已知直线
平面α ，直线
平面α ，“直线c⊥，直线c⊥”是“直线c⊥平面α”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（12）(2009年4月北京海淀区高三一模文)已知四面体
―
中，
，且
，
，则异面直线
与
所成的角为
. 
12．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)设地球半径为
，在北纬
圈上有甲、乙两地，它们的经度差为
，则甲、乙两地间的最短纬线之长为 ，甲、乙两地的球面距离为 ．
答案:
,
13. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上. 设此正方体的表面积为
，球的表面积
，则
=_____________.
11. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)如图，等腰梯形ABCD中， E,F分别是BC 上三等分点，AD=AE=1,BC=3,
,若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则二面角P-AD-E的大小为
． 
12. (北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)如图，等腰梯形ABCD中， E,F分别是BC边上的三等分点，AD=AE=1,BC=3,
,若把三角形ABE和DCF分别沿AE和DF折起，使得B、C两点重合于一点P，则二面角P-EF-D的大小为 ． 
11. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)在长方体
中，
，若点
到
这四点的距离相等，则
＝
。
12. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测文) 在长方体中，
，则长方体的对角线长为 。
（16）(2009年4月北京海淀区高三一模文)（本小题共14分）如图，四棱锥
中， 
平面
，底面为直角梯形，且
，
，
，
.
（I）求证：
；
（II）求
与平面
所成的角的正弦值；
（III）求点到平面
的距离.
16解：方法1
（I）证明：在直角梯形中，
，，
，且
.
………………………1分
取
的中点
，连结
，
由题意可知，四边形
为正方形，所以
，
又
，所以
，
则
为等腰直角三角形，
所以
，
………………………2分
又因为平面，且 
为
在平面内的射影， 
平面，由三垂线定理得，
………………………4分
(II)由(I)可知，，
，
，
所以
平面，………………5分
是在平面内的射影，所以
是与平面所成的角，……6分
又
，………………7分
，
，………………8分
，即与平面所成角的正弦为
…………9分
(III)由(II)可知，平面，平面，
所以平面
平面，
………………10分
过点在平面内作
于
，所以
平面，
则
的长即为点到平面的距离，
………………11分
在直角三角形中，
，， ………………12分
，
……………13分
所以
即点到平面的距离为
…………14分
方法2
∵
平面，
∴以A为原点，AD、AB、AP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系…………1分
∵，.
∴ B (0,4,0), D (2,0 ,0) , C (2,2,0) , P ( 0,0,2) …………2分
（I）∴
∵
………………3分
∴
, 即 ………………4分
(II) ∵
设面APC法向量
∴
∴
………………6分
设
∴
………………7分
∵
∴
………8分
= ………………9分
即与平面所成角的正弦值为
(III)由∵
设面法向量
∴
∴
………………11分
设
∴
………………12分
∴点到平面的距离为
………………13分
=
∴点到平面的距离为
………………14分
17．(北京市石景山区2009年4月高三一模理)（本题满分14分）
如图，已知正三棱柱
―
的底面边长是，
是侧棱
的中点，直线
与侧面
所成的角为
．
（Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
（Ⅲ）求点到平面
的距离．
17．（本题满分
分）
解法一：
（Ⅰ）设正三棱柱―的侧棱长为
．取中点，连结
．
∵
是正三角形，∴ 
．
又底面
侧面
，
且两平面交线为，
∴
侧面．
连结
，则
为直线与侧面所成的角．
∴
．
………………2分
在
中，
，解得
．
∴
此正三棱柱的侧棱长为
．
………………4分
（Ⅱ）过作
于，连结．
∵
侧面，∴ 
是
在平面
内的射影．
由三垂线定理，可知
．
∴ 
为二面角的平面角．
………………6分
在
中，
，又
，
， ∴
．
又
，
∴
在
中，
．
………………8分
故二面角的大小为
．
………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，
平面
，
∴
平面
平面
，且交线为，
过作
于
，则
平面．
∴
的长为点到平面的距离．
………………10分
在中，
． …………12分
∵
为中点，∴ 点到平面的距离为
． …………14分
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系
．
则
．
设
为平面的法向量．
由
，
得
．
取
．
…………6分
又平面
的一个法向量
．
…………7分
∴
． …………8分
结合图形可知，二面角的大小为
．
…………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ），，
．
…………10分
∴
点到平面的距离
．
∴ 点到平面的距离为
．
…………14分
(17) (北京市朝阳区2009年4月高三一模) （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱
中, 已知
， 
，
，是的中点.
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小；
(理)（Ⅲ）求直线
与平面
所成角的正弦值.
(17) 解法一：
（Ⅰ）证明：因为
，
是的中点，所以
.
由已知，三棱柱是直三棱柱，
所以平面平面
.
所以
平面.
又因为
平面,
所以.
………………5分
（Ⅱ）解：由（1）知平面.
过作
，垂足为,连结.
由三垂线定理可知
，
所以
是二面角
的平面角.
由已知可求得
，
, 所以
.
所以二面角的大小为
.
由于二面角与二面角的大小互补，
所以二面角的大小为
.
………………10分
(理)（Ⅲ）过D作
,垂足为,连结
.
由（Ⅱ）可证得
平面
,所以,可证得平面.
所以, 
为直线与平面所成的角.
在直角三角形中，可知
，所以
.
在直角三角形
中，可知=.
在直角三角形
中，
=
.
所以直线与平面所成角的正弦值为
. ………………14分
解法二：
以
的中点
为原点，先证明
平面
，建立空间直角坐标系（如图）.由已知可得
、
、
、
、
、
.
（Ⅰ）证明：
，
.
因为
，
所以.
………………5分
（Ⅱ）解：
.
设平面的一个法向量为
，
由
得
解得
所以
.
又知，
平面，所以
为平面的法向量.
因为 
,所以 
由图可知，二面角大于90º，
所以二面角的大小为
.
………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一个法向量,
又
.
所以 
.
因为直线与平面所成角为
,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
………………14分
17. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试理)（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）方法一：
解：由（Ⅰ）知，
又
，
平面
，
---------------------------5分
如图，过C作
于M，连接BM，
是BM在平面PCD内的射影，
，
又
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中, 
,
PC=1, 
，
，
又
，
，
. ---------------8分
在
中, 
,
BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小为
.
---------------------------9分
方法二：
解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则
,
---------------------------5分
过C作
于M，连接BM，设
，
则
，
，
；
1
共线，
，
2
由12，解得
，
点的坐标为
，
，
，
,
，
又，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
，，
，
二面角B-PD-C的大小为
.
--------------------------9分
（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，
，
，
平面ABCD，
，
，
在直角梯形ABCD中，
，
.
在
中，
，
，
，
，
的面积
，
---------------------------10分
三棱锥B-PAD的体积
，
，
---------------------------12分
即
，解得
，
点B到平面PAD的距离为
.
---------------------------14分
17. (北京市西城区2009年4月高三一模抽样测试文)（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
(Ⅰ) 求证：平面；
(Ⅱ) 求PA与平面ABCD所成角的大小；
(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.
17.（本小题满分14分）
方法一：（Ⅰ）证明：在中，
，
，
，即，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）如图，连接AC，由（Ⅰ）知
平面，
AC为PA在平面ABCD内的射影，
为PA与平面ABCD所成的角. --------------6分
在
中，
，
，
，
在
中，
，
，
，
PA与平面ABCD所成角的大小为
.
---------------------------8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
又
，
平面
.
---------------------------9分
如图，过C作于M，连接BM，
是BM在平面PCD内的射影，
，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------11分
在中, ,
PC=1, ，
，
又，
，
，
在中, ,
BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小为.
--------------------------14分
方法二：（Ⅰ）同方法一. ---------------------------4分
（Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知平面，
AC为PA在平面ABCD内的射影，
为PA与平面ABCD所成的角.
---------------------------6分
如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则,
，
---------------------------7分
，
PA与平面ABCD所成角的大小为
.
---------------------------9分
（Ⅲ）过C作于M，连接BM，设，
则
，
，
；
1
共线，
，
2
由12，解得，
点的坐标为，，，
,
，
又，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------12分
，
，
，
二面角B-PD-C的大小为.
--------------------------14分
16．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)（本小题满分14分）
在直四棱柱ABCD-A1B
（I)求证：BC⊥面D1DB；
（II)求D1B与平面D1DCC1所成角的大小；
（III)在BB1上是否存在一点F，使F到平面D1BC的距离为
，若存在，则指出该点的位置；若不存在，请说明理由．
16．（本小题满分14分）
解法一：
（I)证明：∵ABCD-A1B
∴ D1D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D1D．
∵AB//CD, AB⊥AD．
∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1,CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． -----------------------4分
（II)取DC中点E，连结BE,D1E.
∵DB=BC，
∴BE⊥CD.
∵ABCD-A1B
∴ABCD⊥D1DCC1．
∴BE⊥D1DCC1．
∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影，
∴∠BD1E为所求角．
在
中，
．
．
∴所求角为
．
---------------------------------9分
（Ⅲ）假设B1B存在点F,设BF= x,
∵
,BC⊥平面D1BF，
∴
.
∵
,
∴
.
又
，
∴
．
即存在点F为B1B的中点． ---------------14分
解法二：
（I)证明：如图建立坐标系D-xyz,
．
∴
．
∵
，
∴BC⊥DD1, BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． ------------------4分
（II) 
．
∵AD⊥平面D1DCC1，
∴平面D1DCC1的法向量
，
∵
．
∴D1B与平面D1DCC1所成角的大小为
.
--------------------9分
（III) 假设B1B存在点F,设BF = a，则F(1,1,a),
设平面D1BC的法向量为
，
由
．令x=1,则y = z =1.
∴
，又
，
∴
.
∵F到平面D1BC的距离为,
．
即存在点F为B1B的中点． -------------------------------------------14分
16．(北京市崇文区2009年3月高三统一考试文)（本小题满分14分）
已知直四棱柱ABCD-A1B
（I)求证：BC⊥面D1DB；
（II)求D1B与平面D1DCC1所成角的大小．
16．（本小题满分14分）
解法一：
（I)证明：∵ABCD-A1B
∴ D1D⊥平面ABCD，
∴BC⊥D1D．
∵AB//CD, AB⊥AD．
∴四边形 ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1,CD=2，
可知BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． -----------------------6分
（II)取DC中点E，连结BE,D1E.
∵DB=BC，
∴BE⊥CD.
∵ABCD-A1B
∴ABCD⊥D1DCC1．
∴BE⊥D1DCC1．
∴D1E为D1B在平面D1DCC1上的射影，
∴∠BD1E为所求角．
在中，
．
．
∴所求角为．
---------------------------------14分
解法二：
（I)证明：如图建立坐标系D-xyz,
．
∴．
∵，
∴BC⊥DD1, BC⊥DB．
∵D1D∩ DB=D，
∴BC⊥平面D1DB． ------------------6分
（II) ．
∵AD⊥平面D1DCC1，
∴平面D1DCC1的法向量，
∵．
∴D1B与平面D1DCC1所成角的大小为.
--------------------14分
17．(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测文理)（本小题14分）
如图，直三棱柱
中，
，
，D为棱
的中点．
（I）证明：
；
（II）求异面直线
与
所成角的大小；
（III）求平面
所成二面角的大小（仅考虑
锐角情况）．
17．（本小题14分）
（I）证：
都为等腰直角三角形
，即
…………………………………………… （2分）
又
………………………………………………………… （4分）
（II）解：连
交于E点，取AD中点F，连EF、CF，则
是异面直线与所成的角（或补角）………………… （5分）
，
，
在
中，
………………… （8分）
则异面直线与所成角的大小为
…………………… （9分）
（III）解：延长
与AB延长线交于G点，连接CG
过A作
,连
，
，
（三垂线定理）
则
的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）
在直角三角形ACG中，
………………………………（11分）
在直角三角形
中，
…………………… （13分）
，
即所求的二面角的大小为
……………………………………… （14分）
得 分
评卷人
17. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测理)（本小题共14分）
如图，在正三棱柱
中，
,
是
的中点，点
在
上，
。
（Ⅰ）求
所成角的正弦值；
（Ⅱ）证明
；
(Ⅲ) 求二面角
的大小.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中， 
，又是正△ABC边的中点，
，
∠
为所成角
又 
sin∠=
…………5分
（Ⅱ）证明: 依题意得 
，
，
因为
由（Ⅰ）知
， 而
，
所以 
所以
…………9分
(Ⅲ) 过C作
于，作
于
，连接
， …………11分
又 
是所求二面角的平面角
，
二面角的大小为
…………14分
17. (北京市丰台区2009年3月高三统一检测文)（本小题共14分）
如图，在正三棱柱中，,是的中点，点在上，。
（Ⅰ）求所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角
的正切值；
(Ⅲ) 证明.
解：（Ⅰ）在正三棱柱中，
又 是正△ABC边的中点，
…………3分
∠为所成角
又 sin∠=
…………5分
所以所成角为
（
）
（Ⅱ） 由已知得 
∠
为二面角的平面角， 所以 
…………9分
(Ⅲ)证明: 依题意 得 ，，
因为 …………11分
又由（Ⅰ）中 知，且，
…………14分
