1． 甲、乙两人独立地解同一个问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么甲、乙中至少有一人解决这个问题的概率是（    ）

(A)      (B)       (C)        (D) 

2． 5个人分4张同样的门票，每人至多分1张，而且票必须分完，记不同的分法种数为m；4个人分5张同样的门票，每人至少分1张，而且票必须分完，记不同的分法种数为n，则（    ）

(A)  m > n    (B)  m < n     (C)  m = n      (D)  m、n的大小关系不确定

3． 把a,a,b,c,d五个字母排成一行，两个字母a不相邻的排列数为（    ）

(A)  96      (B)  72       (C)  60        (D)  36

4． 用一个平面去截正方体，所得的截面不可能是 (     )

（A）直角三角形    （B）对角线不相等的菱形     （C）梯形     （D）五边形

5． 如右图，棱锥P―ABCDEF的底面是正六边形，侧棱PA垂直于底面，则下列命题正确的是 (      )

(A)  ∠PEA >∠PEF

(B)  PC的长是点P到直线CD的距离

(C)  EC的长是点E到平面PBC的距离

(D)  ∠PDA是侧面PDE与底面所成二面角的平面角

6． 已知、是直线，、、是平面，有下列五个命题：

①若，，，则或 ；

②若⊥，，⊥，则∥；

③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；

④若， ，且，，则且 ；

⑤若，，，则或．

其中真命题的个数是（     ）

   (A)  1        (B)  2       (C)  3      (D)  4

7． 四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a，记第六条棱与其对棱之间的距离为d,该四面体的体积为V，则 (     )

(A) d、V均有最大值                  (B) d、V均无最大值

 (C) d无最大值、V有最大值            (D) d有最大值、V无最大值

8． 在一个半径为R的半球内有一内接圆柱，圆柱的一个底面落在半球的大圆面上，则这个圆柱的侧面积的最大值为（    ）

    (A)            (B)         (C)          (D)

9． 连续地同时抛掷两枚骰子，当第3次出现两枚点数之和是4的倍数时恰好抛掷了6次的概率是（    ）

(A)       (B)        (C)         (D)   

10． 将4个相同的红球和4个相同的蓝球排成一排，从左到右每个球依次对应的序号为1，2，…，8，若同色球之间不区分，则4个红球对应的序号之和小于4个蓝球对应的序号之和的不同排列方法种数为（    ）

(A)  27        (B)  31        (C)  54         (D)  62

11．设，则            ；

12． 如图,多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面而截得的，且,已知截面与底面ABCD成的二面角,AB = 1, 则这个多面体的体积为               ；

13． 在棱长为a的正方体内有内切球一个，过正方体中两条异面的棱的中点作直线，该直线与球面交于两点，则这两点间的球面距离为                ；

14． 如图，把正五边形ABCDE的五个顶点染上红、黄、蓝、绿四种颜色中的一种，要求相邻顶点所染颜色不相同，且四种颜色都要用到，则不同的染色方法一共有                种；

15． 不透明的箱内有编号分别为1，2，…，9的九个球，每次随机取出一个，记录其编号后放回箱中，以表示前n次取球的编号总和为偶数的概率，则                  ．

16．（本小题满分12分）某大楼共5层，4个人从第一层上电梯，假设每个人都等可能地在每一层下电梯，并且他们下电梯与否相互独立，又知电梯只有在有人下时才停止．

(1) 求恰有2人在第二层下电梯的概率；

(2) 求电梯停下的次数不超过3次的概率.

17．（本小题满分12分）现有“掷骰子放小球”的游戏规定：若掷出1点，则在甲盒中放入一个球；若掷出2点或3点，则在乙盒中放入一个球；若掷出4点、5点或6点，则在丙盒中放入一个球. 设掷骰子n次后，甲、乙、丙各盒内球数分别为x、y、z．

(1) 当n=6时，求y>4的概率；

(2) 当n=3时，求x、y、z成等差数列的概率.

18．（本小题满分12分）如图， P是正四棱柱的底面的中心，，E是AB的中点，．

(1) 求证：平面；

(2) 求直线PA与平面PBC所成角的大小．

19．（本小题满分12分）如图,已知是正三角形，E、F分别是AC、AB的中点，将折起，记折起后点A所在位置为点P，且使得．

(1) 求证：平面；

(2) 求二面角的大小；

20．（本小题满分13分）如图， 已知直三棱柱的侧棱长为2，底面△ABC是等腰直角三角形, 且∠ACB ＝ 90°，AC ＝ 2， F为棱的中点.

(1) 求证：平面平面；

(2) 求异面直线和所成的角；

(3) 若E为AB上一点, 试确定点E在AB上的位置, 使得；并求此时点A到平面的距离.

21．（本小题满分14分）解答下列问题：

(1) 已知.

① 若n=12，求f(x)的展开式中的常数项及展开式的项数；

② 若，求函数f(x)的最小值及相应x的值.

(2) 将100名跳棋选手分成12个小组，举行三人跳棋比赛，各小组内每三人比赛一场，不在同一小组的棋手不比赛.

① 证明：对于任何两个小组，在总人数一定的情况下，当它们的人数至多相差为1时，总的比赛场数最少；

② 请给出一种分组方案，使得比赛总场数最少；并求出最少的比赛总场数.

武汉外国语学校2008――2009学年度下学期期中考试