1．若集合P = { y?y = lg x，x＞1 }，Q = {－2，－1，1，2 }，则 (_RP )∩Q等于

A．{－2，－1，1，2 }               B．（－∞，0）

C．（0，+∞）                       D．{－2，－1 }

2．设a = log₃2，b = log₂3，c = log₂5，则

A．a＜b＜c       B．a＜c＜b     C．b＜a＜c      D．b＜c＜a

3．函数（x≠0）的反函数的图象大致是

A．                  B．              C．                 D．

4．若向量a =（1, m）和b =（2m + 3, －m）共线，其中m∈R，则?a－b?=

A．2或0        B．2         C．2或2      D．4或20

5．过点A（0，1）与圆x² + y²－2x－3 = 0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是

A．x = 0         B．x + y－1 = 0   C．x－y + 1 = 0    D．y = 1

6．若实数x、y满足约束条件 则2x + 3y的最大值为

A．2            B．6           C．8              D．9

7．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x + 4）= f（x），当x∈（0，2）时，f（x）= x + 2，则f（7）=

A．－3          B．3           C．－1            D．1

8．已知直线a、b、c和平面a，则a∥b的一个必要不充分条件是

A．a⊥c且b⊥c                  B．a∥c且b∥c

C．a∥a 且b∥a                 D．a、b与a 所成角相等

9．从8名学生（其中男生6人，女生2人）中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛，若女生不排在最后一棒，则不同的安排方法种数为

A．1440        B．960           C．720          D．360

10．△ABC中，角A满足sin⁴A－cos⁴A≤cosA－sinA，则

A．0＜A≤     B．0＜A≤    C．≤A≤   D．≤A＜

11．若椭圆（a＞b＞0）的离心率，右焦点为F（c，0），方程ax² + 2bx + c = 0的两个实数根分别是x₁和x₂，则点P（x₁，x₂）到原点的距离为

A．         B．        C．2             D．

12．已知函数  给出函数f（x）的下列五个结论：

① 最小值为； ② 一个单增区间是（，）；③ 其图象关于直线（k∈Z）对称； ④ 最小正周期为2p； ⑤ 将其图象向左平移后所得的函数是奇函数． 其中正确结论的个数是

A．1            B．2            C．3            D．4

绵阳市高中2009届第三次诊断性考试

数  学（文科）

第Ⅱ卷（共90分）

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷中．

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

题号

二

三

总分

总分人

总 分

复查人

17

18

19

20

21

22

分数

得分

评卷人

13．等比数列 { a_n } 中，若a₁，a₇，a₄ 成等差数列，则数列{ a_n }的公比为              ．

14． 的展开式中常数项等于              ．

15．已知不平行于x轴的直线y = kx + b（b＞0）与抛物线x² = 2py（p＞0）交于A、B两点，点A、B到y轴的距离的差等于2k，则抛物线的焦点坐标为              ．

16．设A、B、C是球面上三点，线段AB = 2，若球心到平面ABC的距离的最大值为，则球的表面积等于              ．

得分

评卷人

17．（本题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．

（1）若sin C + sin（B－A）= sin 2A，试判断△ABC的形状；

（2）若△ABC的面积S = 3，且c =，C =，求a，b的值．

得分

评卷人

18．（本题满分12分）

春暖大地，万物复苏．目前已进入绿化造林的黄金季节，到处都能看到绿化工人（绿化员）和参加义务植树的百姓植树种草、绿化环境的身影．某8人（5男3女）绿化组，为了提高工作效率，开展小组间的比赛，现分成A、B两个小组，每个小组4人．

（1）求A组中恰有一名女绿化员的概率；

（2）求A组中至少有两名女绿化员的概率．

得分

评卷人

19．（本题满分12分）

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD．ABCD是矩形，BC = 2 CD = 2．又 PA = PD，∠APD = 90°，E、G分别是BC、PE的中点．

（1）求证：AD⊥PE；

（2）求二面角E－AD－G的大小；

（3）求点D到平面AEG的距离．

得分

评卷人

20．（本题满分12分）

已知函数f（x）= mx³－x² + 13（m∈R）．

（1）当m =时，求f（x）的极值；

（2）当m≠0时，若f（x）在（2，+∞）上是单调的，求m的取值范围．

得分

评卷人

21．（本题满分12分）

已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线互相垂直，F（2，0）是它的一个焦点．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点F作互相垂直的两条直线l₁、l₂，l₁交双曲线于A、B两点，l₂交双曲线于C、D两点，求的值．

得分

评卷人

22．（本题满分14分）

已知数列 { a_n } 的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，有．

（1）求证：数列 { a_n + 1 } 是等比数列，并求数列{ a_n } 的通项公式；

（2）求数列 { na_n } 的前n项和T_n；

（3）求证：当n≥3时，a_n≥．

绵阳市高中2009届第三次诊断性考试

数学（文科）参考解答及评分标准

13．q = 1或      14．－       15．（0，）    16．16p 

17．（1）由题意得 sin（B + A）+ sin（B－A）= sin 2A，

sin B cos A = sin A cos A，即 cos A（sin B－sin A）= 0，

∴ cosA = 0 或 sin B = sin A．                                            …………… 4分

因A，B为三角形中的角，于是或B = A．

所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．                       …………… 6分

（2）因为△ABC的面积等于 3，所以 ，得 ab = 12．

由余弦定理及已知条件，得 a² + b²－ab = 13．

联立方程组 解得或       …………… 12分

18．（1）设“A组中恰有一名女绿化员”为事件A₁，

则 ．                                                        …………… 6分

（2）设“A组中至少有两名女绿化员”为事件A₂，

有．                                          …………… 12分

或 ．

19．（1）如图，取AD的中点O，连结OP，OE，于是OP⊥AD．

∵ 侧面PAD⊥底面ABCD， ∴ OP⊥面ABCD．

∵ E是矩形ABCD的边BC的中点，

∴ OE∥AB，∴ OE⊥AD，从而 AD⊥PE．…… 4分

（2）取OE的中点F，连结FG，OG，则 FG∥OP，

∴ FG⊥面ABCD，AD⊥OG，

∴ ∠GOE就是二面角E－AD－G的平面角．

∵ FG =OP =，OF =CD =，

∴ ∠GOE = 45°，即二面角E－AD－G的大小为45°．  …………… 8分

（3）由（1）知，O是AD的中点，所以点D到面AEG的距离等于点O到面AEG的距离h的2倍．

∵ V_P－AOE =S_△AOE×OP =×AO ・OE ・ OP =．

又 AE = AP = PE =，∴ V_O－AEP =S_△AEP ・ h =×・ h =h,

从而由 V_P－AOE = V_O－AEP 得 h =，故点D到面AEG的距离等于．

…………… 12分

另解（2）  以O为原点，OE、OD、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），G（，0，），∴ ，1，），，1，）．

设平面ADG的一个法向量为n₁ =（x₁，y₁，z₁），

则  且 ，于是y₁ = 0，令 x₁ = 1，得 n₁ =（1，0，－1）．显然平面ADE的一个法向量可以为n₂ =（0，0，1）．

∵ cos<n₁，n₂>==，∴ <n₁，n₂> = 135°．

由题图可知二面角E－AD－G的大小为45°．

20．（1）当m =时，由 f ′（x）= x²－2x = 0，得 x = 0 或 x = 2．

所以当x∈（－∞，0）时，f ′（x）＞0；x∈（0，2）时，f ′（x）＜0；x∈（2，+∞）时， f ′（x）＞0．

因此x = 0时，f（x）取极大值，f（x）_极大 = f（0）= 13；x = 2时，

f（x）取极小值，f（x）_极小= f（2）=．                               …………… 6分

（2）f ′（x）= 3mx²－2x，因为m≠0，所以f ′（x）的图象是抛物线，与x轴始终有两个交点（0，0）与（，0）．

若f（x）在（2，+∞）上是单调的，即f（x）在（2，+∞）上恒有

f ′（x）≥0 或f ′（x）≤0．

当m＜0时，抛物线开口向下，与x轴正方向无交点，在（2，+∞）上恒有f ′（x）＜0；

当m＞0时，抛物线开口向上，与x轴正方向的交点为（，0），只需≤2，解得m≥．

综上，m的取值范围是（－∞，0）∪，+∞）．   ……………  12分

21．（1）∵ 双曲线的渐近线方程为，∴ ，

得 a² = b²，于是 c² = a² + b² = 2a² = 4，因此 a² = 2，b² = 2．

所以双曲线的方程为．                                     …………… 3分

（2）① 当直线l₁、l₂其中一条与x轴垂直，不妨设l₁⊥x轴时，

则 ，，，．

∴ ，，

∴ ．                                                      …………… 5分

② 当直线l₁、l₂都不与x轴垂直时，

设l₁：y = k（x－2），k≠0，则 l₂：．

由  消去y，整理得（k²－1）x²－4k²x + 4k² + 2 = 0．

∵ l₁与双曲线有两个交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

∴ ，，且 得 k≠±1．

又 y₁y₂ = k (x₁－2) k (x₂－2)，，，

∴ (1 + k² )(x₁－2) (x₂－2)

         = (1 + k²) [ x₁x₂－2(x₁ + x₂) + 4 ] =．            ………… 8分

以代k得 ， ∴ ．

综合①②，得．                                           …………… 12分

22．（1）∵ 对任意n∈N^*，有，且 S₁ = a₁，

∴ ，得a₁ = 2．                            …………… 1分

又由，得 S_n =．

当n≥2且n∈N^* 时，

有 a_n = S_n－S_n－1 =－=，

即 a_n－3a_n－1 = 2， ∴ a_n + 1 = 3（a_n－1 + 1），

由此表明 { a_n + 1 } 是以 a₁ + 1 = 3为首项，3为公比的等比数列，

∴ a_n + 1 = 3 ・ 3^n－1，有a_n = 3ⁿ－1．

故数列 { a_n } 的通项公式为a_n = 3ⁿ－1．                           …………… 5分

（2）na_n = n（3ⁿ－1）= n ・ 3ⁿ－n，设数列 { n ・ 3ⁿ } 的前n项和为K_n，

则 K_n = 1 ・ 3¹ + 2 ・ 3² + 3 ・ 3³ + … + n ・ 3ⁿ，

∴ 3K_n = 1 ・ 3² + 2 ・ 3³ + 3 ・ 3⁴ + … +（n－1）3ⁿ + n ・ 3ⁿ⁺¹，

两式相减，得

－2K_n = 3¹ + 3² + 3³ + … + 3ⁿ－n ・ 3ⁿ⁺¹ =－n ・ 3ⁿ⁺¹，

∴ ，

因此 ．      …………… 9分

（3）3ⁿ－1 =（2 + 1）ⁿ－1 = (+++…+)－1，

因为n≥3，则展开式至少有四项，

所以 (+++ … +)－1

≥+++－1 =

≥==，不等式成立．

…………… 14分

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