∴，得x≠2kp +p，且，k∈Z

∴函数f（x）的定义域为{x| x∈R，且x≠2kp +p，，k∈Z }．………………………3分

又

=，

所以，函数f（x）的周期是2p．……………………………………………………………………8分

（Ⅱ）在上取值列表为：  

x

0

p

f (x)

不存在

0

1

1

0

不存在

不存在

0

……………………………………………………………………………………………………………12分

18．由题意知，x 的取值为－6，－3，0，3．

∵ 珠子是等可能地随机滚入三个盒子中，∴ 珠子滚入每个盒子的概率都是．………………3分

∴ P（x =－6）==，P（x =－3）= 2×=，

P（x = 0）=，P（x = 3）= ．…………………………………………9分

x

－6

－3

0

3

P

∴ x 的分布列是：

………………………………10分

x 的数学期望 Ex == 0．……………………………………………12分

19．（Ⅰ）取A₁C₁的中点F，连结DF，则 DF∥AA₁，DF =．∵ ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴ B₁E∥AA₁，而E是BB₁的中点，∴ B₁E =，∴ DF∥B₁E 且 DF = B₁E，

∴ 四边形DEB₁F是平行四边形，从而 DE∥B₁F，注意到 B₁F 在平面A₁B₁C₁内，

所以 DE∥平面A₁B₁C₁．………………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在点E使平面EAC₁⊥平面ACC₁A₁，则过E作EM⊥AC₁于M，过B作BN⊥AC于N，连结MN．∵ 二面角E?AC₁?C是直二面角，即平面EAC₁⊥ACC₁A，

∴ EM⊥平面ACC₁A．同理可证 BN⊥平面ACC₁A．∴ EM∥BN．………8分

由B₁B∥平面ACC₁A₁，得 EM = BN，

∴ 四边形EMNB是平行四边形，得 MN∥BE，且MN = BE，MN∥CC₁．

在△ABC中，cos∠BAC =，

∴ ∠BAC = 45°．在Rt△ABN中，得 AN = 1．∵ MN∥CC₁，

∴ ，即在棱BB₁上存在点E，

当时，二面角E?AC₁?C是直二面角．……………………………12分

（Ⅱ）如图所示建立空间直角坐标系．则三角形ABC的面积为

，∴ 点A到BC所在直线的距离AD满足

，而BC =，得，∴．

设BE = m，BB₁ = lm（m，l≠0），则，，，C­₁(0，0，lm)．

在此坐标系下，很容易得到平面ACC₁A₁的一个法向量．

，．

设平面EAC₁的一个法向量为．

= 0

= 0

即 ，．

取，可得， ．

当二面角E?AC₁?C是直二面角时，有 =・= 0，

∴ 2（2m－）－（lm－m）= 0，解得 l = 3，即在棱BB₁上存在点E，当时，二面角E?AC₁?C是直二面角．………………………………………………………………………………12分

20．因为 f (x) =，所以 f ′ (x) =+( 2x + n )

= [ 2x² +（2m + n）x + mn + 1 ] ・．………………………………………………………………3分

（Ⅰ）当m = 1，n = 5时，f ′ (x) =（2x² + 7x + 6）・，注意到＞0，

则由f ′ (x)＞0，解得 x＜－2或x＞；由f ′ (x)＜0，解得－2＜x＜．

因此函数f (x) 在（－∞，－2）与（，+∞）上递增；f (x) 在（－2，）上递减． ………6分

（Ⅱ）由已知有 f ′（0）= mn + 1，所以 == f ′（0）= 4，

即 mn + 1 = 4，得 mn = 3．……………………………………………………………………………9分

要使函数f (x) =在R上单调递增，只须 f ′ (x)≥0在R上恒成立，

∴ 只须 （2m + n）²－4×2×（mn + 1）≤0，即（2m－n）²≤8．把 代入上式，

得（－n）² ≤8，解得 ≤n≤3．………………………………………………………………12分

21．（Ⅰ）由2 a_n+1 = 3a_n－a_n－1（n≥2），得 2（a_n+1－a_n）= a_n－a_n－1，

∴，因此数列{ a_n－a_n－1 }是以a₂－a₁ = 1为首项，为公比的等比数列，

∴，……………………………………………………………………………………4分

于是 a_n =（a_n－a_n－1）+（a_n－1－a_n－2）+ … +（a₂－a₁）+ a₁

   ==． ………………………………………6分

（Ⅱ）由不等式，得 ，

∴ ，即 ，………………………………………………8分

所以  2＜（4－m）・ 2ⁿ ＜8． ∵ 2ⁿ为正偶数，4－m为整数，

∴ （4－m）・ 2ⁿ = 4，或 （4－m）・ 2ⁿ = 6，

∴  或  或  或

解得  或  或  或

经检验使不等式成立的所有正整数m、n的值为

（m，n）=（1，1）或（2，1）或（3，2）．………………………………………………………12分

说明  问题（1）的归纳做法是：由已知可得，

∴ ，，

，……，于是 ．

22．方法一：由题意知A（－a，0），F（c，0），a² = b² + c²，．

设点P的坐标为P（x₀，y₀），则，，

∵  ，∴ PA⊥PF，表明△PAF是直角三角形，

于是

∴ ．（1）…………………………………………………4分

∵  P是椭圆C上在第一象限内的点，

∴  ， 即 ．（2） 将（1）代入（2）得

即  ，∴  ，

由于x₀ + a＞0，∴ 只有 ，得 …………………………7分

∵ c = ea，b² = a² ? c²，∴ ．（3）……………………………9分

根据椭圆的定义，有 ，而 ，

∴ 在Rt△PAF中，有 ．（4） ……………………………………………11分

将（3）代入（4）得因此 ．…………………………………………………………………………………………14分

解法二   由题意知A（－a，0），F（c，0），a² = b² + c²，．

则直线PA的方程为 y =（x + a）tanq，．（1）

将直线PA的方程与椭圆方程联立，消去y后，得

（b² + a² tan²q）x² + 2a³ tan²q ・ x + a⁴ tan²q－a²b² = 0．（2）…………………………………………4分

因为点A（－a，0）和P（x₀，y₀）的坐标满足方程（1）和（2），

所以，有 ，即，

y₀ =（x₀ + a）tanq =．……………………………………………………………………6分

若，则PA⊥PF，表明△PAF是直角三角形，从而有 ?PA?² +?PF?² =?AF?²，

∴ （x₀ + a）² + y₀² +（x₀－c）² + y₀² =（a + c）²，∴  x₀ ² + y₀² +（a－c）x₀ = ac．……………8分

将x₀、y₀代入上式，得++= ac．去分母，整理，得=，……………12分

将 c = ea代入，得 Û  Û ，

于是 ，为所求．…………………………………………………………14分