Question

【题目】已知椭圆C： （a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析。

【解析】试题分析：（1）根据， 两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过， 两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l： （），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.

试题解析：（1）由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此，解得.

故C的方程为.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，

如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t， ），（t， ）.

则，得，不符合题设.

从而可设l： （）.将代入得

由题设可知.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.

而

.

由题设，故.

即.

解得.

当且仅当时， ，欲使l： ，即，

所以l过定点（2， ）

点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.