Question

【题目】长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动.

（1）求线段的中点的轨迹的方程；

（2）当时，曲线与轴交于两点，点在线段上，过作轴的垂线交曲线于不同的两点，点在线段上，满足与的斜率之积为-2，试求与的面积之比.

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】试题分析：（1）设线段的中点为，根据平面上两点间的距离公式，即可求解线段的中点的轨迹的方程；

（2）当时，直线和直线的方程，联立方程组，求得点的坐标，即可得打结果．

试题解析：

设线段的中点为，则， ，

故，

化简得，此即线段的中点的轨迹的方程；

【法二：当、重合或、重合时， 中点到原点距离为；

当、、不共线时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，知中点到原点距离也恒为，

故线段的中点的轨迹的方程为】

（2）当时，曲线的方程为，它与轴的交点为、，

设， ， ，

直线的斜率，故直线的斜率，

直线的方程是，

而直线的方程是，即

联立，解得，此即点的坐标，

故．