Question

【题目】已知函数是定义在R上的奇函数，其中为自然对数的底数.

（1）求实数的值；

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在上不存在最值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】试题分析：由 ；（2）不等式可化为

，又单调增函数

存在 ，使 ，利用均值不等式可得 . (3)化简函数，令 原命题等价于函数 在 上不存在最值 成立令 ，再利用导数工具求得： .

试题解析：（1）解：因为在定义域上是奇函数，

所以

即恒成立，

所以，此时

（2） 因为

所以

又因为在定义域上是奇函数，

所以

又因为恒成立

所以在定义域上是单调增函数

所以存在，使不等式成立

等价于存在， 成立

所以存在，使，即

又因为，当且仅当时取等号

所以，即

注：也可令

①对称轴时，即

在是单调增函数的。

由不符合题意

②对称轴时，即

此时只需得或者

所以

综上所述：实数的取值范围为.

(3)函数

令

则在不存在最值等价于

函数在上不存在最值

由函数的对称轴为得： 成立

令

由

所以在上是单调增函数

又因为 ，所以实数的取值范围为：