Question

（14分）已知f（x）是定义在[—1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[—
1，1]，m+n≠0时有
（1）判断f （x）在[—1，1]上的单调性，并证明你的结论；
（2）解不等式:；
（3）若f （x）≤对所有x∈[—1，1]，∈[—1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

解：（1）任取—1≤x₁<x₂≤1，则
f （x₁）—f （x₂）=" f" （x₁）+f （－x₂）=
∵—1≤x₁<x₂≤1，∴x₁+（－x₂）≠0，
由已知＞0，又x₁－x₂＜0，
∴f （x₁）—f （x₂）＜0，即f （x）在[—1，1]上为增函数．
（2） ∵f （x）在[—1，1]上为增函数，故有

（3）由（1）可知：f（x）在[—1，1]上是增函数，且f （1）=1，故对x∈[—l，1]，恒有f（x）≤1．
所以要使f（x）≤，对所有x∈[—1，1]， ∈[—1，1]恒成立，
即要≥1成立，故≥0成立．
记g（）=对 ∈[—1，1]，g（）≥0恒成立，只需g（）在[—1，1]上的最小值大于等于零．
故
解得：t≤—2或t=0．

解析