Question

【题目】已知圆： 和抛物线： ， 为坐标原点．

（1）已知直线和圆相切，与抛物线交于两点，且满足，求直线的方程；

（2）过抛物线上一点作两直线和圆相切，且分别交抛物线于两点，若直线的斜率为，求点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）;（2）或．

【解析】试题分析: 直线与圆相切只需圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与曲线相交于两点，且满足，只需数量积为0，要联立方程组设而不求，利用坐标关系及根与系数关系解题，这是解析几何常用解题方法，第二步利用直线的斜率找出坐标满足的要求，再利用两直线与圆相切，求出点的坐标.

试题解析：（1）解：设， ， ，由和圆相切，得．

∴．

由消去，并整理得，

∴， ．

由，得，即．

∴．

∴，

∴，

∴．

∴．

∴或（舍）．

当时， ，故直线的方程为．

（2）设， ， ，则．

∴．

设，由直线和圆相切，得，

即．

设，同理可得： ．

故是方程的两根，故．

由得，故．

同理，则，即．

∴，解或．

当时， ；当时， ．

故或．