Question

【题目】设是定义在D上的函数,若对D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的C函数.

(1)试判断函数是否为定义域上的C函数,并说明理由;

(2)若函数是R上的奇函数,试证明不是R上的C函数;

(3)设是定义在D上的函数,若对任何实数以及D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的π函数. 已知是R上的π函数,m是给定的正整数,设,且,记. 对于满足条件的任意函数,试求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3) 的最大值为.

【解析】试题分析：(1)证明是否成立,即可得出结论；(2)假设是R上的C函数,取, 则有,结合奇函数可得,是同理可得,则推出矛盾；(3)对任意,取.由题意, = ≤=,则.

试题解析：(1) 是C函数,

证明如下:对任意实数),

有==.

即， 是C函数.

(2)假设是R上的C函数,取,

则有.

是奇函数，所以，所以. (*)

同理,取,可证.与(*)式矛盾.

不是R上的C函数.

(3)对任意,取.

是R上的函数, ,且

= =.

那么= .

可证是函数,且使得都成立，此时.

综上所述, 的最大值为.