Question

【题目】棱长为1的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴.有下列命题：

①圆柱的母线与正方体所有的棱所成的角都相等；

②正方体所有的面与圆柱的底面所成的角都相等；

③在正方体内作与圆柱底面平行的截面，则截面的面积；

④圆柱侧面积的最大值为.

其中正确的命题是______.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据正方体的特性分析可知①②正确，作出一个与圆柱底面平行的截面，举出反例得到③错误，利用几何法找出圆柱的底面半径，列式计算圆柱侧面积，结合均值不等式计算得到④正确，得到答案.

如图所示：易知圆柱的母线与平行，由正方体的对称性可知与其每条侧棱间的夹角都相等，①正确；

设分别为对应棱的中点，易知共面，

易证，，则平面，平面，故，同理可得，故平面，

又圆柱的底面与垂直，

故平面与圆柱的底面平行，

根据正方体的特点可知，平面与正方体所有侧面的夹角相同，

故正方体所有的面与圆柱的底面所成的角都相等，②正确；

此时截面的面积为，③错误；

设圆柱底面半径为，则圆柱的底面必与过点的三个面相切，

且切点分别在线段上，设在上的切点为，为圆柱的一条高，

根据对称性知：，则圆柱的高为，

，

当，即时等号成立，④正确.

故答案为：①②④.