Question

【题目】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.

(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；

(2)证明： .

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)结合题中所给的递推关系可得： ，据此可得数列是首项为，公比为3的等比数列；

(2)结合(1)的结论可得，据此进行放缩后求和即可证得题中的结论.

试题解析：

(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3，所以＝3，

所以是等比数列，首项为a1＋＝，公比为3，

所以an＋＝·3n－1，

因此{an}的通项公式为an＝(n∈N*)．

(2)由(1)知：an＝，所以＝，

因为当n≥1时，3n－1≥2·3n－1，

所以≤，

于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜，

所以＋＋…＋＜.