【题目】
（1）设函数 ，求 的最大值；
（2）试判断方程 在 内存在根的个数，并说明理由.

参考答案：

【答案】
（1）解：当 时，若 ， ，

若 ，由 ，可知 ，故 .

当 时，由 ，可得：

时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，

可知 ，且 .

综上可得，函数 的最大值为 .


（2）解：方程 在 内存在唯一的根.

理由如下：设 ，

当 时， ，

又 ，

所以存在 ，使得： .

因为 ，

所以当 时， ，

当 时， ，

所以当 时， 单调递增，

所以方程 在 内存在唯一的根.


【解析】对于（1）分段函数最值的研究，要结合分段函数的导致，分别求出最值，各段最大值的最大者就是最大值，要注意分类讨论。
对于（2）判断方程的实根个数时，往往通过函数的导致，判断函数的单调性，利用函数的零点推出结果。
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值的理解，了解极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．

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