Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2.

（I）若f（x）在x=1处有极值10，求a，b的值；

（II）若当a=-1时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围

Answer 1

【答案】（I）; （II）b<-

【解析】试题分析：（1）首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得f '（1）=0，f（1）=10，解得即可；

（2）x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立，即b<在x∈[1，2]恒成立，令g（x）=，即可求出b的取值范围．

试题解析：

（I）f '（x）=3x2+2ax+b，由题设有f '（1）=0，f（1）=10

即解得或

经验证，若则f '（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2

当x>1或x<1时，均有f '（x）>0，可知

此时x=1不是f（x）的极值点，故舍去

符合题意，故.

（II）当a=-1时，f（x）=x3-x2+bx+l

若f（x）<0在x∈[1，2]恒成立，即

x3-x2+bx+1<0在x∈[1，2]恒成立

即b<在x∈[1，2]恒成立

令g（x）=，则

g '（x）==

（法一：由g '（x）=0解得x=1…）

（法二）由-2x3+x2+1=1-x3+x2（1-x） 可知x∈[1，2]时g '（x）<0

即g（x）=在x∈[1，2]单调递减

（g（x））max=g（2）=-

∴b<-时，f（x）<0在x∈[1，2]恒成立.