Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）与x轴的交点为A，B．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．
①当m=1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，

∴抛物线顶点坐标（1，﹣1）．

（2）

解：①∵m=1，

∴抛物线为y=x2﹣2x，

令y=0，得x=0或2，不妨设A（0，0），B（2，0），

∴线段AB上整点的个数为3个．

②如图所示，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，

∴点A在（﹣1，0）与（﹣2，0）之间（包括（﹣1，0）），

当抛物线经过（﹣1，0）时，m= ，

当抛物线经过点（﹣2，0）时，m= ，

∴m的取值范围为 ＜m≤ ．

【解析】（1）利用配方法即可解决问题；
　　　　（2）①m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．②根据题意判断出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解抛物线与坐标轴的交点的相关知识，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．