Question

【题目】已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见详解；（2）

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）根据（1）的单调性的讨论，分析函数极值的正负，以及极限的思想，确定零点的个数.

解：（1）由题，

（i）当时，，

时，，单调递减，

时，，单调递增；

（ii）当时，

时，，

，函数单调递增，

时，，

，函数单调递减，

时，，

，函数单调递增；

（iii）当时，恒成立，

函数单调递增；

（iv）当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增；

（2）（i）当时，有唯一零点

，不符合题意；

由（1）知：

（ii）当时，单调递增，

时，；时，；

则仅有唯一零点，不符合题意；

（iii）当时，

时，函数单调递减，

时，函数单调递增，

时，；时，，

必有两个零点；

（iv）当，

时，函数单调递增，

时，函数单调递减，

时，函数单调递增，

，

，

函数至多有一个零点；

（v）同理可知，时，函数至多有一个零点.

综上所述：当时，函数有两个零点.